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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013湖北，文1)已知全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，B2,3,4，则B()A2 B3,4 C1,4,5 D2,3,4,51答案：B解析：3,4,5，B2,3,4，故B3,4故选B.2(2013湖北，文2)已知0，则双曲线C1：与C2：的()A实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等2答案：D解析：对于，sin2cos21，因而两条双曲线的焦距相等，故选D.3(2013湖北，文3)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学
2、员各跳一次设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A(p)(q) Bp(q) C(p)(q) Dpq3答案：A解析：至少有一位学员没有降落在指定范围，即pq的对立面，即(pq)(p)(q)，故选A.4(2013湖北，文4)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y与x负相关且2.347x6.423；y与x负相关且3.476x5.648；y与x正相关且5.437x8.493；y与x正相关且4.326x4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A B C D4答案：D
3、解析：正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为，故选D.5(2013湖北，文5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是() 5 答案：C解析：根据题意，刚开始距离随时间匀速减小，中间有一段时间距离不再变化，最后随时间变化距离变化增大，故选C.6(2013湖北，文6)将函数ycos xsin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A B C D6 答案：B解析：ycos xsin x2的图象向左平移m个单位长度后得y2的图象又平移后
4、的图象关于y轴对称，即y2为偶函数，根据诱导公式m的最小正值为，故选B.7(2013湖北，文7)已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A B C D7 答案：A解析：因为(2,1)，(5,5)，所以向量在方向上的投影为|cos，.故选A.8(2013湖北，文8)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为()A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数8答案：D解析：由题意f(1.1)1.11.10.1，f(1.1)1.11.11.1(2)0.9，故该函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数又对任意整数a，有f(ax)axaxx
5、xf(x)，故f(x)在R上为周期函数故选D.9(2013湖北，文9)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元 B36 000元 C36 800元 D38 400元9答案：C解析：设需A，B型车分别为x，y辆(x，yN)，则x，y需满足设租金为z，则z1 600x2 400y，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x5，y12，此时z最小等于36 800，故选C.10(2013湖北，文1
6、0)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B C(0,1) D(0，)10答案：B解析：f(x)ln xaxln x2ax1，函数f(x)有两个极值点，即ln x2ax10有两个不同的根(在正实数集上)，即函数g(x)与函数y2a在(0，)上有两个不同交点因为g(x)，所以g(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，所以g(x)maxg(1)1，如图若g(x)与y2a有两个不同交点，须02a1.即0a，故选B.二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11(2013湖北，
7、文11)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_.11答案：23i解析：z1在复平面上的对应点为(2，3)，关于原点的对称点为(2,3)，故z223i.12(2013湖北，文12)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_12答案：(1)7(2)2解析：平均数为，标准差为2.13(2013湖北，文13)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入m的值为2，则输出的结果i_.答案：4解析：由程序框图，i1后：A12，B11，AB？否；i2后：A22，B1
8、2，AB？否；i3后：A42，B23，AB？否；i4后：A82，B64，AB？是，输出i4.14(2013湖北，文14)已知圆O：x2y25，直线l：xcos ysin 1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k_.14解析：由题意圆心到该直线的距离为1，而圆半径为2，故圆上有4个点到该直线的距离为1.15 (2013湖北，文15)在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.15答案：3解析：由题意2,4的区间长度为6，而满足条件的x取值范围的区间长度为5，故m取3，x2,316(2013湖北，文16)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一
9、个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)16答案：3解析：由题意盆内所盛水的上底面直径为20(寸)，下底面半径为6寸，高为9寸，故体积为V9(10262106)588，而盆上口面积为142196，故平地降雨量为3(寸)17(2013湖北，文17)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形
10、，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)17答案：(1)3,1,6(2)79解析：由图形可得四边形DEFG对应的S，N，L分别是3,1,6.再取两相邻正方形可计算S，N，L的值为2,0,6.加上已知S1时N0，L4，代入SaNbLc可计算求出a1，b，c1，故当N71，L18时，S7118179.三、解答题：本大题共5小题，共65分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(2013湖北，文18)(本小题满分12分)在ABC中，角A
11、，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S，b5，求sin Bsin C的值18解：(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以.(2)由Sbcsin A bc，得bc20.又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故.又由正弦定理得sin Bsin Csin Asin Asin2A.19(2013湖北，文19)(本小题满分13分)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，
12、S3成等差数列，且a2a3a418.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由19解：(1)设数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.若存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n2 012.当n为偶数时，(2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k520(2013湖北，文20)(本小题满分13
13、分)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2d2，C1C2d3，且d1d2d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在ABC中，记BCa，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估S中h来估算已知V(d1d2d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明20(1)证明：依题意，A1A2平
