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1、- 全等的相关模型总结一、 角平分线模型应用1. 角平分性质模型： 辅助线：过点G作GE射线AC（1） .例题应用：如图1，在，则点D到直线AB的距离是 cm.如图2，. 图1 图22 提示：作DEAB交AB于点E，.(2) .模型稳固：练习一：如图3，在四边形ABCD中，BCAB，AD=CD，BD平分.求证： 图3练习二：如图4，四边形ABCD中， 图4练习三：如图5，交CD于点E，交CB于点F.(1) 求证：CE=CF.(2) 将图5中的ADE沿AB向右平移到的位置，使点落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜测：于CF又怎样的数量关系.请证明你的结论.图5 图6练习四：如图7，P是A
2、B的中点，PD平分ADC求证：CP平分DCBADECBP2143图7练习五：如图8，ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：BE=CF 图8练习六：如图9所示，在ABC中，BC边的垂直平分线DF交BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DEAB于E，并且ABAC。求证：BEAC=AE。图9练习七： 如图10，D、E、F分别是ABC的三边上的点，CE=BF，且DCE的面积与DBF的面积相等，求证：AD平分BAC。2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF射线OB（1） .例题应用：如图1所示，在
3、ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F。求证：证明：延长BE交AC于点F。 ：如图2，在， 分析：此题很多同学可能想到延长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜测过C点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C作CEAB交AM的延长线于点E. 例题变形:如图，求证：(3) .模型稳固：练习一、 如图3，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 图3练习一变形：如图4，在ODC中，过点E作 图4练习二、如图5，ABC中，CE平分ACB，且AECE，
4、AEDCAE180度，求证：DEBCACDEB 图5 练习三、如图6，ADDC，BCDC，E是DC上一点，AE平分DAB，BE平分ABC，求证：点E是DC中点。ABCDE 图6练习四、如图7a，. 图7a 图7b 图7c 、如图7b，、如图7c，其他条件不变. 则在图7b、图6c两种情况下，DE与BC还平行吗.它与三边又有怎样的数量关系.请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五、如图8，在直角三角形中，的平分线交于自作交于，交于自作于，求证： 图8练习六、如图9所示，在中，为的中点，是的平分线，假设且交的延长线于，求证 图9 练习六变形一：如图10所示，
5、是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且 图10练习六变形二：如图11所示，在中，平分，于，求证 图11 练习七、如图12，在中，的平分线交与则有则如图13，在中，求证： 图12 图13练习八、在中，的平分线交于，过作，为垂足，求证：练习九、是的角平分线，交的延长线于，交于 求证：3. 角分线，分两边，对称全等要记全 两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使OBC.1.例题应用：、在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1题意分析：此题考察全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2解题思路
6、：此题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。解答过程：证明：如图1，过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+D
7、B+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：1此题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即截长法。2此题利用平行法的解法也较多，举例如下：如图2，过O作ODBC交AC于D，则ADOABO从而得以解决。如图5，过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不管是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。、如下图，在中，是的外角平
8、分线，是上异于点的任意一点，试比拟与的大小，并说明理由【解析】 ，理由如下如下图，在的延长线上截取，连接因为是的外角平分线，故在和中，公用，因此，从而在中，而，故 变形：在中，是的平分线是上任意一点求证：【解析】 在上截取，连结，根据证得，又中，2、模型稳固：练习一、.如图，在ABC中，ADBC于D，CDABBD，B的平分线交AC于点E，求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。EADBC练习二、如图，ABC中，ABAC，A100，B的平分线交AC于D，ACBD求证：ADBDBC练习三、如图，ABC中，BCAC，C90，A的平分线交BC于D，ACBD求证：ACCDAB练习四、：在中，的平分线和外角的
9、平分线相交于交于求证：练习五、在中，平分，是中点，连结，求证：变式：在中，平分，求证：练习六、 ：如图，在四边形ABCD中，ADBC,BC=DC,CF平分BCD,DFAB,BF的延长线交DC于点E. 求证：1 BF=DF； (2) AD=DE.ABCDFE练习七、如图，在四边形ABCD中，AB+BC=CD+DA，ABC的外角平分线与CDA的外角平分线交于点P.求证：APB=CPD练习八、如图，在平行四边形ABCD两组对边分别平行的四边形中，E，F分别是AD，AB边上的点，且BE、DF交于G点，BE=DF，求证：GC是BGD的平分线。练习九、如图，在ABC中，ACB为直角，CMAB于M，AT平分
10、BAC交CM于D，交BC于T，过D作DEAB交BC于E，求证：CT=BE.练习十、如下图，中，平分，、分别在、上， 求证：【补充】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，假设，求证：为的角平分线4.中考巡礼：1.如图1，OP是AOB的平分线，请你利用图形画一对以OP为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答以下问题。、如图2，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE是BAC、BCA的角平分线， 相交于点F，请你判断并写出EF与DF之间的数量的关系。、如图3，在ABC中，ACB不是直角，而1中的其他条件不变，请问，1中的结论是否任然成立假设成立，请证
11、明；假设不成立，请说明理由。ABCDEF图2ABCDEF图3 AOMNEF图12.如图，在平面直角坐标系中，B-1，0，C1，0D为y轴上的一点，点A为第二象限一动点，且BAC=2BDO，过点D作DMAC于M，、求证：ABD=ACD；、假设点E在BA的延长线上，求证：AD平分CAE；、当点A运动时，AC-AB/AM的值是否发生变化.假设不变，求其值；假设变化，请说明理由。二、 等腰直角三角形模型1. 在斜边上任取一点的旋转全等： 操作过程： （1） .将ABD逆时针旋转，使ACMABD，从而推出ADM为等腰直角三角 形.但是写辅助线时不能这样写 （2） .过点C作，连AM导出上述结论.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连AD.1. 使BF=AEAF
