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1、24 种方法XX： 指导： 日期： 优选 -16.1 利用一次函数的单调性【例1已知,北非负,且不+3、十2M = 3.31+3y+第= 4,求卯=2=一3了十落的最值.解由条件知3y + 22=3-13,+二= 4 - 3工5得 y 2jc 1; w= 9r- 6又工.雷非负*工0即 d 9(1 J 近 HEI I 0b以一 120依一次函数讨=9# 6的单调性知当工=:时，”好口 X当 JT=1 时 tW = 3注 在求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消 元，变为一元函数.对一次函数3 = J + b HH0)的最值,关键是指出自变里的取值范围，即函数的定义域.当一次函数的定义 域
2、是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得.16.2利用二次函数的性局傀2设。产是方程4工，4及+归+ 2 = 0的两个实根, 当走为何值时必+炉有最小值？解7 。甲为方程的两实根，1. 0+3 = 6,叩=4设了 =Q*+9，则y（。十 2 叩=/-t- 0A成一1或02而二次函数的顶点（:，一条）不在此范围内根据二次函 q1 q数的性质知,了是以点为对称轴干开口向上的+定义域为（一8, 111112.+8）的抛物线.比较去=1及时V的值 知.当A = - 1时，有32=方，f注利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值 在顶点处取得.首先要求出定义域然后再看顶点是否在定义域调性来判定.【例
3、3】 如图16 1,她物域y=4一7与宜线y二却交于 A.B两点,点P在抛物线上由A运动到乩求工尸8的面枳地 大时点尸的坐标.S 16-1分析由于为定点B长为定 值，欲使乂日面积最大,须使尸到q9 的距离最大.解设F点坐标为7 AI在直线,=3工上，.13 工*一,4 13HO一 4 + . a- 二 二,v+1 vTo联立抛物线与直线方程，得工厂4皿=1/ 44-=1325则 3 - 4+/ =（工作+*77-T0 Z 4， d =-=（一10。31o + 4） vio/Ior , 3 AJ, -5_vlg 一而5+彳）一 口一当 L一慨时N取最大值,面积最大，此时P点坐 乐为（-U 1注
4、在实际问题中应注意确定自变信的取值范围的方法.这里是由宜线而抛物线的交点来确定,这样才能确定定义域内 的最值.例4在平面内有一边长为的正ABC和直线ZJHRC交ABfD,交AC j- E,沿宜线J将NAC所在产面折 成直二面甫,若折起后A,H两点间距尚最短试求/此时的位 置,并求出片8的最小值，解 如图162,设折起后点及所在的半平面为a过乂在 面m内作af_u,垂足为尸，则月1，面小在。内过产作FGBC于G.可证G为HC的中点,且AF +我;=可以（原正三角形的高. -w1令/尸=+则FG ta-x又 BG=y* * BF - =+ FG* =（5）* + （以一才）?又在RtABF中* A
5、B2 =AF2+BF2=工，十一十-一工）。44=2（工一匕+冬/16*3 利用二次方程的判别式欲求函数y=f(iGR)的极值,如果可以把函数式整理 成关于工的二次方程，注意到父在其定义域内取值，即方程有 实根，所以可以通过二次方程的判别式来探求 的极大 与极小值.【例S】已知OW#V】，求)工察三得忠的最值，解原式可化为(3了 - 2)上/+ 24(3,2)?)0解得或少.白410即函数y的值域为)或4i D.19-)强大二不，雌小二痛当3t时,代入原函数式解得=1E0,1.Q当尸卷时，代入依函数式解得 lT缸O. ；乂 1=。时卅=-；*9工当1 = 0时,了取最大值早注 由判别式确定的是
6、函数的值域,由值域得到的是函 散的极值而不是最值/对有些函数来说,极值与最值相同，而 有的函数就不一定，如本例中的极大值比极小值还小，这正是因 为极值是就某局部而言；若要求函数在给定的定义域内的最 值,一定要注意极值是否在此定义域内取得，即要注意验根【例6已知更线/=4=和点P(6,43在直线上求一点Q，使过点尸,Q的直线以及/与工驰在第一象限内围成的工 角形的面积最小.解 设Q点坐标为Gn，V),则“一4.Q的方程为事一 4H包三G)-T)- 6令,=0得PQ与X轴的交点K(工”0)的横坐标不二图 16-3. C _ I _ 1。了/ dOQR I . ZVl 一二二7 U- i整理为 10
7、1/5工1+5 = 0( * )V西为实数；. =S-40S0得S40,取S的最小值40代人( )式，得10记-4011 +40 - 0解得工=2 则y = 8故点Q的坐标为(Z,8).【例7】已知tgx = 3tg (。工一3V93求I 的最大L值，则依题设，有tgu = tg(x y)=二8%1 + rgrtgj l + 3tg/整理，得(3tgu)tg?2tg+tgu = 0V:.A = ( -2)*- 4gv) tguO解得 tgK :，由知, V4V注 这里依题班条件戢想到取1一3的正切函数是解题 的关犍.而设=A继而找其函数关系也具有一定的技巧 性.16.4 利用重要不等式这里主要
8、是运用平均值不等式及何西不等式.例8】如图16 4,在平面直痢坐标系中，在3轴的正半轴（坐俅原点除 ;外）上给定两个点A.B.试在t轴的正 , 半轴（坐麻原点除外）上求点J使 NACH取得最大值.（ 1986年全国高考 - 试题）解 设点的坐标分别为（0, 图16T.）,（0）,其中OV加On又设点C坐标为 （工,0）,其中x0记NBCA = 5，NOCB = 3则NOC4 = & + d显然。丘（。，!ga = tgCQ + d)-/?)=a b lgS + f ) -lgf L 工 N 1 +- ： ababjtHx工0 .劲0.又工如=ab为定值.jC35=2 Jx *核=2/9当且仅当
9、*=苧,即 T v JXM区时取等号.:.当X =”以8时, 1子苧自最小值？有最大值abtg。在（0,5 ）内是增函数.工=依时有最大值鼎，点c的坐标为I兀石（）.注应用均值不等式求函数的加（极）值时,亦应注意使用 不等式的条件,如,等号成立的条件等，否则容易出错.这里利用正切函数的单调性来求龟的最值及角的拆变也是解题 的基本技巧.例9设ib,nCK ,且2瓦+4y+9之=16,求6 /r +4 VT + 3 Tz的最大值.解令必=6 /V + 4 W +3 Mu- = （6 / + 4 M 3 +3 I/之）2=（3;C + /7 十 （/丁：1.=ex = 7+5 = 12feg = 75=2解2 (用判别式法)3部 in工。gsinaccsa + Ucos-0解之，得2WyW12* mni 12, 加口 2注本例还可以用万能公式等方法来解.16.6 利用荽数换元对有些由教，直接求极值比较复杂或不方便，可根据题II的 特点作变量代换.然后运用前面的几种方法来解决，在换元时, 一定要注意新的变量的取值值
