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1、 第十六章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) 1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )一. 平面点集: 平面点集的表示: 满足的条件. 1. 常见平面点集: 全平面和半平面: , , ,等. 矩形域: , . 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是 和. 角域: . 简单域:型域和型域.2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集 的区别.二. 点集的基本概念:1. 内点、外点和界点：集合的全体内点集表示为, 边界表示为.集合的内点, 外点, 界点不定.2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .例1 确
2、定集的内点、外点集、边界和聚点.3. 开集和闭集:时称为开集,的聚点集时称为闭集.存在非开非闭集.和空集为既开又闭集.4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .5. 有界集与无界集:6. 点集的直径：两点的距离.7. 三角不等式： （或）.三. 点列的极限:设, .定义 的定义 ( 用邻域语言 ) .例2 , , .例3 设为点集的一个聚点. 则存在中的点列, 使. 四. 中的完备性定理:1. Cauchy收敛准则: 先证为Cauchy列和均为Cauchy列.2. 闭集套定理: 1P89.3. 聚点原理: Weierstrass聚点原理，列紧性.4. 有限复盖定理:五. 二元函数
3、:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例4 求定义域： ; .3. 有界函数:4. 元函数: 2 二元函数的极限 ( 3 时 )一. 二元函数的极限: 1. 二重极限的定义: 也可记为或例1 用“”定义验证极限 . 1P94 E1.例2 用“”定义验证极限 . 例3 设 证明.(用极坐标变换 ) 1P94 E2. Th 1 对D的每一个子集E ,只要点是E的聚点,就有.推论1 设,是的聚点.若极限不存在, 则极限也不存在.推论2 设,是和的聚点.若存在极限, 但,则极限不存在.推论3 极限存在对D内任一点列,但,数列收敛 . 2 方向极限: 方向极限的定义. 通常为证明极限不存在,
4、可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等 二重极限存在 ( 以下例5 ).例4 设 证明极限不存在.(考虑沿直线的方向极限). 1P95 E3.例5 设 证明极限不存在. 1P95 E4. 二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例6 求下列极限: ; ; ; .3 极限的定义: 其他类型的非正常极限，无穷远点的情况.例7 验证.Ex 1P99100 1，4，5.二. 累次极限:1. 累次极限的定义: 定义.例8 设, 求在点的两个累次极限 . 1P97 E6. 例
5、9 设, 求在点的两个累次极限 .例10 设, 求在点的两个累次极限与二重极限.2. 二重极限与累次极限的关系: 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 ) 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数在点的情况 . 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10) 两个累次极限存在(甚至相等) 二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ).综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系. Th 2 若全面极限和累次极限(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) 1P98. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等. 注: 推论1给出
6、了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在全面极限不存在. 参阅的例. 3 二元函数的连续性 (2 时 )一 二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.1. 连续的定义:定义 用邻域语言定义连续. 注: 函数有定义的孤立点必为连续点 . 例1 设证明函数在点沿方向连续 . 例1 设 ( 1P101)证明函数在点不全面连续但在点对和分别连续.2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.3. 函数在区域上的连续性.4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性1P102). 二. 一致连续性: 定义.三. 有界闭区域上连续函数的性质:1. 有界性与最值性. ( 证 ) 2. 一致连续性. ( 证 )3. 介值性与零点定理. ( 证 )Ex 1P104105 1 ，2，4，5.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！ /
