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1、第6讲圆锥曲线中探索性问题 课时讲义 1. 圆锥曲线中的探索性问题是一类常见的问题，主要考查学生的推理论证能力和创新能力2. 圆锥曲线中的探索性问题的解题步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在1. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为_答案：解析：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得OCCEr，过点O作直线2xy40的垂线段OF，交AB于D，交
2、直线2xy40于F，则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小，此时圆的直径为O(0，0)到直线2xy40的距离为d，此时rd，圆C的面积的最小值为Smin.2. (2018汇龙中学)若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为_答案：y28x解析： 抛物线y22px， 准线为x. 点P(2，y0)到其准线的距离为4，4， p4或p12(舍去) 抛物线的标准方程为y28x.3. “m0，解得m10，故“mb0)的离心率为，且过点，F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连结AF，BF分别交椭圆于C，D两点(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设直
3、线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2mk1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解：(1) 由题意知解得所以椭圆的方程为1.(2) 设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，直线AF的方程为y(x1)，代入椭圆的方程1，得(156x0)x28yx15x24x00.因为xx0是该方程的一个解，所以C点的横坐标为xC.又C(xC，yC)在直线y(x1)上，所以yC(xC1).同理，D点坐标为，所以k2k1，即存在m，使得k2k1.,二) 一般探究型问题,2) (2018启东中学月考)如图，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且上焦点为F(0，1)，过F的动直线l与椭圆C相
4、交于M，N两点设点P(3，4)，记PM，PN的斜率分别为k1和k2.(1) 求椭圆C的方程；(2) 探索是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围解：(1) 因为e，c1，所以 a2，b，所以椭圆的方程为1. (2) 当直线MN的斜率不存在时，M(0，2)，N(0，2)，则k1，k22，故2.当直线MN的斜率存在时，设其为k，则直线MN：ykx1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消y得(3k24)x26kx90，则有x1x2，x1x2. 所以2.所以为定值，且定值为2. 如图，已知椭圆1(ab0)的离心率e，一条准线方程为x2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的
5、直线交椭圆于另一点P，P点关于x轴的对称点为Q.(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数(1) 解：因为，2，所以a，c1，所以b1.所以椭圆的方程为y21.(2) 证明：(证法1)由(1)知A(0，1)，设点P坐标为(x1，y1)，则点Q坐标为(x1，y1)因为kAP，所以直线AP的方程为yx1.令y0，解得m.因为kAQ，所以直线AQ的方程为yx1.令y0，解得n.所以mn.因为(x1，y1)在椭圆y21上，所以y1，即1y，所以2，即mn2.所以mn为常数，常数为2.(证法2)由(1)知A(0，1)设直线AP的斜率为k(
6、k0)，则直线AP的方程为ykx1，令y0，得m.联立方程组消去y，得(12k2)x24kx0，解得xA0，xP，所以yPkxP1，所以P(，)则点Q的坐标为(，)所以kAQ，故直线AQ的方程为yx1.令y0，得n2k，所以mn()(2k)2.所以mn为常数，常数为2.,三) 创新型问题,3) 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1(ab0)的离心率是e，定义直线y为椭圆的“类准线”已知椭圆C的“类准线”方程为y2，长轴长为4.(1) 求椭圆C的方程；(2) 点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上)，过点P作圆O：x2y23的切线l，过点O且垂直于OP的直线与l交于点A，问：点A是否在椭圆C上？
7、证明你的结论解：(1) 由题意得又a2b2c2，解得b，c1，所以椭圆C的方程为1.(2) 点A在椭圆C上证明如下：设切点为Q(x0，y0)，x00，则xy3，切线l的方程为x0xy0y30，当yP2时，xP，即P(，2)，则kOP，所以kOA，直线OA的方程为yx.由解得即A(，)因为1，所以点A的坐标满足椭圆C的方程当yP2时，同理可得点A的坐标满足椭圆C的方程，所以点A在椭圆C上如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3，1)在椭圆上，PF1F2的面积为2.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若点Q在椭圆C上，且F1QF2，求QF1QF2的
8、值；(3) 设直线yxk与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值解：(1) 因为椭圆过点P(3，1)，所以1.又SPF1F22c12，解得c2.又a2b2c2，解得a212，b24，所以椭圆C的标准方程为1.(2) 当F1QF2时，有所以QF1QF2.(3) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26kx3k2120，故x1x2，x1x2，y1y2.因为以AB为直径的圆经过坐标原点，所以x1x2y1y2k260，解得k，此时0，满足条件因此k.1. (2018天津卷理)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.
9、 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为_答案：1 解析：设双曲线的右焦点坐标为F(c，0)(c0)，则xAxBc.由1可得y，不妨设A，B，双曲线的一条渐近线方程为bxay0.据此可得d1，d2，则d1d22b6，则b3，b29，双曲线的离心率e2.据此可得a23，则双曲线的方程为1.2. (2018天津卷理)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b，0)，且FBAB6.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若sinAOQ(O为原点)，求
10、k的值解：(1) 设椭圆的焦距为2c，由已知有.由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得FBa，ABb.由FBAB6，可得ab6，从而a3，b2.所以椭圆的方程为1.(2) 设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)由已知有y1y20，故PQsinAOQy1y2.因为AQ，而OAB，故AQy2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程组消去x，可得y1.易知直线AB的方程为xy20，由方程组消去x，可得y2.由5y19y2，可得5(k1)3，两边平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以k的值为或.3. 已知椭圆C：x23y23，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线
11、与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3交于点M.(1) 求椭圆C的离心率；(2) 若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3) 试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由解：(1) 因为椭圆C的标准方程为y21，所以a，b1，c.所以椭圆C的离心率e.(2) 因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，y1)，直线AE的方程为y1(1y1)(x2)，令x3，得M(3，2y1)，所以直线BM的斜率kBM1.(3) 直线BM与直线DE平行，理由如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM1.又直线DE的斜率kDE1，所以BMDE.当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y1(x2)令x3，得点M(3，)，由得(13k2)x26k2x3k230，所以x1x2，x1x2，直线BM的斜率kBM.因为kB
