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1、word数分高代定理大全高等代数第一章带余除法 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.定理 1 对于数域上的任意两个多项式，其中的充分必要条件是除的余式为零.定理 2 对于中任意两个多项式，在中存在一个最大公因式，且可以表示成，的一个组合，即有中多项式使.定理 3 中两个多项式，互素的充分必要条件是有中的多项式使.定理 4 如果，且，那么.定理 5 如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由一定推出或者.因式分解与唯一性定理 数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式那么
2、必有，并且适当排列因式的次序后有其中是一些非零常数.定理 6 如果不可约多项式是的重因式，那么它是微商的重因式.定理 7余数定理 用一次多项式去除多项式，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值.定理 8 中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.定理 9 如果多项式，的次数都不超过，而它们对个不同的数有一样的值，即那么.代数根本定理 每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理 每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理 每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.定理 10高
3、斯Gauss引理 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理 12 设是一个整系数多项式，而是它的有理根，其中互素，那么必有.特别地，如果的首项系数，那么的有理根是整根，而且是的因子.定理 13 艾森斯坦Eisenstein判别法 设是一个整系数多项式，如果有一个素数，使得 1.； 2.； 3.那么在有理数域上是不可约的.第二章定理 1 对换改变排列的奇偶性.定理 2 任意一个级排列与排列都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有一样的奇偶性.定理
4、3 设，表示元素的代数余子式，如此如下公式成立：定理 4 克拉默法如此 如果线性方程组的系数矩阵的行列式，那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为其中是把矩阵中第列换成方程组的常数项所成的行列式，即定理 5 如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有.定理 6 拉普拉斯定理 设在行列式中任意取定了行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式.定理 7 两个级行列式和的乘积等于一个级行列式，其中是的第行元素分别与的第列的对应元素乘积之和：.第三章定理 1 在齐次线性方程组中，如果，那么它必有非零解.定理 2 设
5、与是两个向量组，如果 1向量组可以经线性表出， 2，那么向量组必线性相关.定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有一样个数的向量定理 4 矩阵的行秩与列秩相等.定理 5 矩阵 的行列式为零的充分必要条件是的秩小于.定理 6 一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.定理 7 线性方程组有解判别定理 线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵与增广矩阵有一样的秩。定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有根底解系，并且根底解系所含解的个数等于，这里表示系数矩阵的秩.定理 9 如果是方程组的一个特解，那么该方程组的任一个解都可以表成，其中是导出组的一个解.因
6、此，对于方程组的任一个特解，当取遍 它的导出组的全部解时，就给出本方程组的全部解.第四章定理 1 设是数域上的两个矩阵，那么，即矩阵的乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.定理 2 设是数域上矩阵，是数域上矩阵，于是，即乘积的秩不超过各因子的秩.定理 3 矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，而.定理 4 是一个矩阵，如果是可逆矩阵，是可逆矩阵，那么 .定理 5 任意一个矩阵都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，主对角线上1的个数等于的秩1的个数可以是零.定理 6 级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积： 第五章 定理 1 数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成
7、平方和. 定理 2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规X形，且规X形是唯一的。 定理 4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规X形，且规X形是唯一的。 定理 5 1任一复对称矩阵都合同于一个下述形式的对角矩阵;,其中，对角线上1的个数等于的秩.2任一实对称矩阵都合同于一个下述形式的对角矩阵：，其中对角线上1的个数与-1的个数是的秩都是唯一确定的，分别称为称为的符号差.定理 6 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于.定理 7 实二次型是正定的充分必要条件为矩阵的顺序主子式全
8、大于零.定理 8 对于实二次型，其中是实对称的，如下条件等价： 1是半正定的， 2它的正惯性指数与秩相等， 3有可逆实矩阵，使其中， 4有实矩阵使， 5的所有主子式皆大于或等于零.第六章定理 1 如果在线性空间中有个线性无关的向量，且中任一向量都可以用它们线性表出，那么是维的，而就是的一组基.定理 2 如果线性空间的非空子集合对于的两种运算是封闭的，那么就是一个子空间.定理 3 1两个向量组生成一样子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2的维数等于向量组的秩.定理 4 设是数域上维线性空间的一个维子空间，是的一组基，那么这组向量必定可扩大为整个空间的基.也就是说，在中必定可以找到个向量，使得
9、是的一组基.定理 5 如果是线性空间的两个子空间，那么它们的交也是的子空间.定理 6 如果是的子空间，那么它们的和也是的子空间.定理 7 维数公式如果是线性空间的两个子空间，那么 维+维=维+维.定理 8 和是直和的充分必要条件是等式只有在全为零向量时才成立.定理 9 设是的子空间，令，如此的充分必要条件为 维=维+维.定理 10 设是线性空间的一个子空间，那么一定存在一个子空间使.定理 11 是的一些子空间，下面这些条件是等价的： 1是直和；2零向量的表法唯一；3；4维=.定理 12 数域上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有一样的维数.第七章定理 1 设是线性空间的一组基，是中任意
10、使.定理 2 设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个矩阵.这个对应具有以下的性质：1） 线性变换的和对应于矩阵的和；2） 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3） 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理 3 设线性变换在基下的矩阵是，向量在基下的坐标是，如此在基下的坐标可以按公式计算.定理 4 设线性空间中线性变换在两组基 6 7 下的矩阵分别为和，从基6到基7的过渡矩阵是，于是.定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.定
11、理 6 相似的矩阵有一样的特征多项式.哈密尔顿凯莱Hamilton-Caylay定理 设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，如此.定理 7 设是维线性空间的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，有个线性无关的特征向量.定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.定理 9 如果是线性变换的不同的特征值，而是属于特征值的线性无关的特征向量，那么向量组也线性无关.定理 10设是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下的矩阵是，如此1的值域是由基像组生成的子空间，即.2的秩的秩.定理 11 设是维线性空间的线性变换，如此的一组基的原像与的一组基合起来就是的秩的零度.定理
12、 12 设线性变换的特征多项式为，它可分解成一次因式的乘积.如此可分解成不变子空间的直和 ，其中.定理 13 设是复数域上线性空间的一个线性变换，如此在中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是假如尔当形矩阵.定理 14 每个级复矩阵都与一个假如尔当形矩阵相似.定理 15 数域上级矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为的最小多项式是上互素的一次因式的乘积.第八章定理 1 一个的-矩阵是可逆的充分必要条件为行列式是一个非零的数.定理 2 任意一个非零的的-矩阵都等价于如下形式的矩阵 其中是首相系数为1的多项式，且.定理 3 等价的-矩阵具有一样的秩与一样的各级行列式因子.定理 4 -矩阵的标准形是唯一的
13、.定理 5 两个-矩阵等价的充分必要条件是它们有一样的行列式因子，或者，它们有一样的不变因子.定理 6 矩阵是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.定理 7设是数域上的两个矩阵.与相似的充分必要条件是它们的特征矩阵和等价.定理 8 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有一样的初等因子.定理 9 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不一样的一次因式方幂的乘积，如此所有这些一次因式的方幂一样的按出现的次数计算就是的全部初等因子.定理 10 每个级矩阵的复数矩阵都与一个假如尔当形矩阵相似，这个假如尔当形矩阵除去其中假如尔当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的
14、，它称为的假如尔当标准形.定理 11设是复数域上线性空间的线性变换，在中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵是假如尔当形，并且这个假如尔当形矩阵除去其中假如尔当块的排列次序外是被唯一决定的.定理 12 复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的初等因子全为一次的.定理 13 复数矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是，的不变因子都没有重根.定理 14 数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形，称为的有理标准形.定理 15设是数域上维线性空间的线性变换，如此在中存在一组基，使在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由唯一决定，称为的有理标准形.第九章定理 1 维欧式空间中任一个正交向量组都能扩大成一组正交基.定理 2 对于维欧式空间中任意一组基，都可以找到一组标准正交基，使.定理 3 两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数一样.定理 4设是维欧式空间的一个线性变换，于是下面四个问题是相互等价的： 1是正交变换； 2保持向量的长度不变，即对于； 3如果是标准正交基，那么也是标准正交基； 4在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.定理 5 如果子空间两两正交，那么和是直和.定理 6 维欧式空间的每一个子空间都有唯一的正交补.定理 7 对于任意
