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1、实用文档信号采样与恢复过程中的混叠及其滤波一、实验目的：（1）理解连续时间信号的采样与恢复过程；（2）掌握采样序列的频域分析和滤波，信号的恢复，掌握Shannon采样定理；（3）学会利用 MATLAB 软件分析信号采样、滤波与恢复的过程。（4）学会 FIR 滤波器的简单设计方法二、实验内容：给定原始信号如下式所示：f (t )10.5sin 2f1t0.2sin 2f2 t ，其中， f1 , f 2 是信号原始频率（本实验中为自选常数，f1 为低频， f 2 为高频）。确定一个采样频率 fs 对 f (t) 进行采样，再将采样得到的序列进行DFT，画出过程中各信号的图形。进行频域高、低频滤波
2、，再反变换得出处理后恢复出来的信号。将实验过程中得到的图形与理论图形进行比较，发现不同点并加以解释。三、实验过程：先选定 f1=50hz、 f 270Hz ，则原始信号表示为：f (t)10.5sin(250t)0.2sin(270t)1、原信号时域截取：因为在计算机中只能计算离散的点列，若要用 MATLAB 处理图形，只能先对信号进行截取和采样。本实验选定矩形截取窗口的宽度为原信号周期的m 倍， m 为正整数。所以画出截取后的信号图像为.实用文档图 1 截断后的信号图像原信号中低频为 50Hz，高频为 70Hz，取采样频率 f s 为 3倍的 f 2 ，即fs370Hz210Hz 。50和7
3、0的最大公约数为 10，所以原信号的最小正周期为1/10s，这里取 m为3（即取窗口函数的宽度为 3/10s），相应的采样点数 Nc=140 0.3 42 ，所以窗口函数为10t0.3st0 其他其图像如图 2所示， 其傅立叶变换图像如图 3所示，其公式如下：Ftsin(0.5 ) e j /2 ，其中0.3s0.5图 2窗函数图 3 窗函数傅里叶变换（ CTFT）.实用文档时域截取的过程就是原函数f t 在时域乘以t ，而在频域 F与 sin(0.5) e j /2 做卷积运算后再乘以系数 1/ 20.5，而在实际计算机仿真过程中，只要选好信号横坐标的范围就完成了截取信号的过程， 本实验中取
4、信号横坐标为 0,0.3)，截取后的 CT信号的傅里叶变换图像如图4所示，其图像在频域坐标轴上向正负无穷延展。图 4 截取后的 CT 信号（ 0 s,0.3 s) ）的 CTFT Fj2、截断信号的时域采样截断后的信号就可以在时域上进行采样，采样函数为(tnTS ) ，截断后的信号f j t 乘以(n nTS ) ，所以在频域相当于 1/ 2 Fj与 s(n s ) 进行卷积， 其得到的图像为周期的，其图像与离散采样信号的DTFT 形式相同。以上为 CT 信号的分析，对于离散信号，为了适应计算机的处理方式，我们需要采用DFT 和IDFT进行计算求解。采样后的离散信号图像为下图所示.实用文档图
5、5 采样后的信号对上述有限的离散信号求DTFT ，可以得到其在频域的表现形式，对离散角频率取 0,6.28 之间的 629个样点，计算其DTFT ，并画出图像如下图 6 有限采样信号的 DTFT 频谱如果对上述频谱图进行采样，则相应的，离散采样信号将进行周期延拓，如果在频域进行采样，并保证在一个主周期中，有N个采样点，则离散采样信号将以N为离散周期进行延拓。如果令N Nc 63,则其相当于原始周期信号的采样。利用 DFT ，我们可以完成这个过程，DFT 公式为X (ej 2 k / N1 N 1x n ej 2 nk / N)N n 0其类似于 DTFS 公式，特点是隐含周期性，就得到了离散的
6、频谱，其频谱与连续周期信号的频谱在形式上极为相似，只要保证 N Nc ，频谱赋值在数值上相同。其图像如下：.实用文档图7 离散信号的 DFT 离散频谱3、设计离散滤波器并进行滤波。目前，只进行了低通滤波。目标：滤除 70Hz 的高频成分，保留直流分量和50Hz 的低频成分。方法：采用窗函数法设计FIR 滤波器。采用海明窗。具体步骤：（ 1）、取通带截止频率为p2f12f2pst,，取阻带起始频率为st，c2fsfs取阻带衰减不小于 -50db。（ 2）、求理想滤波器的冲击响应。je j t|c |hd (e )0| c |1sinc (n )|c|( n)hd (n)c|c |(3)、选择窗函
7、数w( n)0.542nn ( )本实验取海明窗0. 4 6 c o s RNN1(4)、确定 N 值。海明窗带宽：6.6/ N ，2( stp ) /s ，所以求得 N 为 35（ 5）、确定 FIR 滤波器的 h(n)h( n)dh ( n) w( n)（ 6）、求 H (ej )经过计算，得到的滤波器的单位冲击响应和滤波器的频谱图如下图所示.实用文档图 8 滤波器单位冲击响应图 9 数字滤波器的频谱图下面进行滤波，把 离散信号的DFT 离散频谱函数和数字滤波器的频谱函数对应相乘，进行了频域滤波。滤波后的离散频谱如下图所示图 10 滤波后的离散频谱图利用 IDFT 进行反变换得到滤波后的离
8、散信号，其图像如下.实用文档图 11 IDFT 后的离散信号4、离散信号变为连续信号（插值）（1） 利用理想插值函数进行插值，其插值函数图像如下图 12 理想插值函数插值效果如下图所示图 13 原始信号复原图.实用文档但是，上述插值在物理世界中，无法实现，因为它非因果，且为无穷信号。与此同时，通过观察发现，在复原图像的边缘误差较大，原因是因为所取的离散信号点为有限个， 所以存在误差， 当在边界进行插值时， 边界另一边没有信号值，所以误差较大，当采样点为无穷个时，理论上可以精确复原原图像，但这在现实生活中，无法实现。（2） 一阶线性插值，其插值函数图像如下图 14 一阶线性插值函数插值效果如下图
9、所示图 15 原始信号复原图一阶线性插值插值误差较大， 但基本反映出了图像的形态， 其在物理上可以实现。通过观察，上述复原图在边缘出也存在较大误差，原因同上，同时因为插值函数具有延时效果，所以复原信号在实间上有延迟，最直观就是比理想复原图向后移动了一小段距离。5、参数调整通过上面的实验， 我对信号采样与复原过程有了一定的了解，下面通过参数调整来加.实用文档深理解。（ 1）窗函数为整数倍周期，否则无法复原为原图像调整截断信号所用窗函数的宽度，使其不等于周期的整数倍。之前取m=3，这里取m=1.5。得到的结果如下，这是因为，利用DFT 在计算周期延拓离散信号的频谱的时候，在时域延拓后的图像与原图像已经不一样了。
