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1、第一章习题解答（部分）1 用单位抽样序列及其加权和表示图1所示的序列。图1 习题1图解：由图1可以写出：3 试判断下面各序列是否为周期序列，若是周期序列，试确定其周期。(1) (2) (3) 解： （1）由，可得是无理数，所以x(n)是非周期序列。（2）由，可得是有理数，所以是周期序列，周期为10。（3）由，可得是有理数，所以是周期序列，周期为2。5设信号的偶部为，奇部为，求下列信号的偶部和奇部。(1) (2) 解：（1）偶部为：奇部为：（2）偶部为：奇部为：6 已知序列(1) 画出序列的波形，标上各序列值；(2) 画出序列的波形；解：（1）序列的波形如图2（a）所示；（2）序列的波形如图2（
2、b）所示。 （a） (b)图2 习题6图7直接计算下面两个序列的卷积和，其中，请用公式表示。解： 因为，所以(1) 当时，两序列不重叠，。(2)当时，两序列部分重叠，。(3)当两序列全部重叠，。8 如图3(a)、(b)、(c)所示，分别计算和的卷积和，并画出的波形。 (a) (b)(c)图3 习题8图解：（a），如图3（a）所示；（b），如图3（b）所示；（c），如图3（c）所示。图3 习题8解答图9试判断下列系统是否是：(a)线性系统；(b)时不变系统。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（1）根据可得：=而 所以，系统是线性系统。又因为所以，系统是时不变系统。（2）根据可得
3、：，而 所以，系统是线性系统。又因为 ，所以，系统是时变系统。（3）根据可得：，而 即 所以系统是线性系统。又因为所以，系统是时变系统。（4）根据可得：， 而 所以，系统是非线性系统。又因为，所以，系统是时不变系统。（5）根据可得：，而 所以，系统是线性系统。又因为，所以，系统是时变系统。（6）根据可得，而 所以，系统是线性系统。又因为，所以，系统是时变系统。10设线性时不变系统的单位冲激响应如下，试判断其是否是：(a)因果系统；(b)稳定系统。(1) (2) (为整常数)(3) 解：（1）因为在时，所以该系统是因果系统；因为，所以该系统是不稳定系统。（2）当时，系统是因果的，当时，系统是非因
4、果的；因为，所以该系统是稳定系统。（3）因为在时，所以该系统是非因果系统；因为，所以该系统是不稳定系统。11给定下列差分方程，试判断各系统是否是：(a)因果系统；(b)稳定系统。(1) (2)(3) (4) (5) (6) 解：(1)设，则有，所以当有界时该系统是稳定系统，无界时该系统是不稳定系统。又因为只取决于现在的输入，不取决于未来的输入，所以该系统是因果系统。(2)设，则有，所以该系是稳定系统。又因为只取决于现在的输入x(n)，不取决于未来的输入，所以该系统是因果系统。(3)设，则有，所以当，有界时，该系统是稳定系统；当，无界时，该系统是不稳定系统。又因为只取决于现在的输入，不取决于未来
5、的输入，所以该系统是因果系统。(4)设，则有，所以该系统是稳定系统。又因为只取决于现在的输入，不取决于未来的输入，所以该系统是因果系统。(5)设，则有，所以该系统是稳定系统。又因为不仅取决于现在和过去的输入，还取决于未来的输入，所以该系统是非因果系统。(6)设，则，所以该系统不是稳定系统。若，则该系统是因果系统；若，则该系统是非因果系统。12已知线性时不变系统的输入x(n)和单位冲激响应h(n)分别如下，试求各系统的输出y(n)。(1) ， (2) ，(5) ， (6) ，解：（1）（2），采用对位相乘相加法可得，（5）（6） 13线性时不变系统的单位冲激响应为 。求此系统对输入序列的响应。解
6、：该系统的响应为14 一个单位冲激响应为的线性时不变系统，如果输入是周期为的周期序列，即，证明输出也是周期为的周期序列。证明：对于线性时不变系统(LTI)，系统的输入与输出满足：所以 由于，因此即输出是周期为的周期序列。15 已知一个线性时不变系统的单位冲激响应除区间之外皆为零；又已知输入除区间之外皆为零。结果，输出除了某一区间之外皆为零。试以、和表示和。解：按照题意，由于的非零区间为：的非零区间为：将以上两个不等式相加，可得的非零区为：这是因为在此区间之外，和的非零值互不重叠，故输出皆为零。由于题中设输出在区间之外皆为零，所以，17 有限长序列的第一个非零值出现在，且，最后一个非零值出现在，
7、且 。试问在卷积和中出现第一个非零值的序列号和各是多少？ 最后一个非零值的情况呢？解：按照题意，对于的非零区间为： 的非零区间为： 将以上两个不等式相加，可得所以在卷积和中出现第一个非零值的序列号，；最后一个非零值的序列号，。18一个由如下差分方程描述的系统： 设系统是因果的，利用递推法求系统的单位冲激响应。解：因为系统是因果系统，所以当时，；又因为，所以 即 ，19一离散时间系统的差分方程描述为：设初始条件为时，。试求在输入时系统的输出。解：因为n0，所以系统是非因果系统。又因为系统输入，因此有递推公式：，即 所以 ，。24考虑图4中两个系统H1和H2级联，如果H1和H2是线性的、时不变的、
8、因果的、稳定的，那么这个串联系统也是线性的、时不变的、因果的、稳定的吗？说明理由。图4 习题24图解：由于系统是线性的，系统对输入的响应是，将它作为系统的输入，又由于系统是线性的，其响应是。所以，如果和是线性的，其级联系统也是线性的。类似的，对于时不变性，如果是系统的输入，其响应将是。因为系统是时不变的，它对于的响应是。因此，级联系统对的响应是，所以这个级联系统是时不变的。由于系统是稳定的，如果是有界的，输出也是有界的，把作为稳定系统的有界输入，响应也是有界的。所以，这个级联系统是稳定的。如果系统是因果的，在时刻的输出仅取决于时的，对于，仅取决于时的输入，于是可以得出这个级联系统是因果的。25
9、 如图5所示，三个线性时不变系统互联，试写出整个系统的输出y(n)的表达式。图5 习题25图解：根据图5可知，整个系统的输出y(n)的表达式为：28 一个连续时间信号从一个截止频率为rad/s的理想低通滤波器的输出得到，如果对进行理想抽样，下列抽样间隔中的哪一些能保证利用上述低通滤波器后能被不失真地恢复？(1) 秒 (2) 秒 (3) 秒解：因为信号的最高频率，所以对进行理想抽样，为了保证利用上述低通滤波器后能被不失真地恢复，采样频率，采样间隔秒，所以抽样间隔秒和秒能满足要求。29 有一个连续时间信号，式中，。(1) 求出的周期；(2) 的奈奎斯特频率是多少？(3) 用抽样间隔T1ms对理想抽
10、样，写出抽样信号的表达式。(4) 求出对应的离散时间信号的表达式，判断它是否是周期序列，若是周期序列，求出其周期。解：（1），周期；（2）的奈奎斯特频率；（3）（4）对应的离散时间信号的表达式为：，因为，所以该信号是周期性的，周期。30 设，其中为抽样间隔，试求：(1)信号的模拟域频率。(2)当时，的数字域频率。(3) 与的关系是什么？解：（1）根据信号可知，该信号的模拟域频率；（2）当时，所以数字域频率；（3）31 设，试求：(1) 的奈奎斯特率。(2)不失真地恢复的抽样频率应该为多少赫兹(Hz)？(3)如果对以奈奎斯特频率的2倍抽样，抽样后的数字角频率为多少？解:（1）信号的最高频率，的奈
11、奎斯特率；（2）为不失真地恢复，的抽样频率应大于4000 (Hz)，即；（3）抽样后x(n)的数字角频率为和。32 判断下面每一种说法是对还是错。(1)只要抽样间隔，信号的理想抽样信号不会发生混叠。(2)只要抽样间隔，傅里叶变换为的信号的理想抽样信号不会发生混叠。(3)只要抽样间隔，傅里叶变换为的信号的理想抽样信号不会发生混叠。解：（1）这种说法是错的，因为的傅里叶变换为，所以该信号的带宽为无限宽，当抽样间隔时，信号的理想抽样信号会发生混叠； （2）这种说法是对的。因为傅里叶变换为的信号的最高频率是，所以只要抽样间隔（秒），信号的理想抽样信号不会发生混叠。（3）这种说法是错的。因为傅里叶变换为的信号 的最高频率是，所以只有当抽样间隔（秒），信号的理想抽样信号不会发生混叠。33有一理想抽样系统，抽样频率为(rad/s)，抽样后经理想低通滤波器还原，其中： 今有两个输入和。试问输出信号、有无失真？为什么？解：要想时域抽样后能不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于2倍信号谱的最高频率，即满足。因为，而频谱中最高角频率，所以无失真；因为，而频谱中最高角频率，所以失真。1
