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1、广东省东源中学邹海彬摘要：将复杂的代数问题转化为几何问题，往往有事半功倍的效果，这里从构造几何图形 的角度对代数问题进行求解，介绍了几种方法以及实例，包括了构造三角形，正方形或矩形， 长方体，棱锥，以及利用托勒密定理。关键词：构造几何图形代数 不等式证明引言数学学习，从更深的层次讲，是发散型思维活动的学习，如果我们在学习数学的过程中。 例如，在做各种数学习题的过程中，能主动地依据问题的已知条件和所求所证，多方向、多角 度地拓宽我们的思维渠道，那么，我们的创造性思维能力将会得到很快的发展。下文仅从构造 图形解决数学问题培养数学创造性思维展开。构造图形解题，它的应用十分广泛，特别是有些 技巧性很强
2、的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经 常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构 造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，因为构造适当的几何图形往往能使问题的解决 变得非常简洁巧妙。论文分为两部分，主要通过列举来说明，第一部分是对不同图形构造的总结（一共总结了 六大类），第二部分是列举不等式证明题目，题目采用不同解法（主要是通过构造不同图形）。 部分题目是我们自己设计的，部分题目是从参考文献中提取并用不同解法得出的，在文中均有 注明。1图形构造的几类方法的总结1.1构造三角形解决代数问题：111利用勾股定理构造直角三
3、角形例1【1】已知X、y、z、r都为正数，且X2 + y2二z2, z x2 - r2 = x2.求证：xy = rz.分析：由X2 + y2 = z2,很容易想到勾股定理，且又注意到x、y、z都为正数的条件，则会想到构造直角三角形来解决问题.作者简介：邹海彬（1979）,男，广东河源人，中教一级，主要研究方向：数学理论教学A证明：构造直角三角形如上图，其中，BC二x , AC = y , AB = z ；作CD丄AB于D,由射影定理，有BC2 = AB BD,即有x2 = z、：x2 -CD2 ,又由题意有x2 = zx2 - r2 ,且 r0, xy rz从而有CD=r，所以AABC的面积
4、S= = c，这可得xy = rz. ABC 22p例2【2】知：m、n、p为正数，且m2 + n2 - p2 = 0。求的最小值.m + n分析：此题如果直接用代数方法来解，显得难以入手，但题目所给的等式m2 + n2 - p2 =0有明显的几何结构，将其变形为m2 + n2 = p2，则会很容易联想到勾股定理，且又注意到m、n、p为正数这个条件，则会想到构造一个有关于直角三角形会有助于解题，从而使问题得到解决.解：构造以m、n为直角边，p为斜边的RtAABC和RtADEC，如上图摆放，则在直角梯形ABCD中，因为AD=,迈p，BC AD,所以m + n至迈p,所以 一m + n所以-的最小
5、值是二2.m + n2例3设a、b、c、d都是正数，证明存在一个三角形，它的边长为IIIb2+c2，斗 a2 + c2 + d2 + 2cd, Ja2 + b2 + d2 + 2ab试计算这个三角形的面积。分析：通常的思维是证明三个数中最大数小于其它两数之和来证明三角形的存在，但这道题用此 方法是很难证明的，海伦公式求面积法在此题中也很难运用.注意至 i；a2 + c 2 + d 2 + 2cd = a 2 + (c + d )2a 2 + b 2 + d 2 + 2ab =片 d 2 + (a + b)2由勾股定理可构造一个边长为a + b , a + b的矩形如下图:解：以a + b、c
6、+ d为边长作矩形ABCD如上图，在AD上取E，使AE = b , ED = a ；在AB 上取F，使AF = c， FB = d .由图2易知：FE = vb 2 + c 2, EC = fa 2 + (c + d )2, FC = ,：d 2 + (a + b)2从而 EFC就是以上三个数为边长的三角形，其面积为:11 1 1 1(a + b)(c + d) - bc - a(c + d) - a(c + d) - d(a + b) = (ac + bc + cd)另外，我们模仿别人的题目设计了如下的变式题目并总结出自己发现的结论；对于一些数学题目中的具体数字，如果能构造成平方和，也可利用
7、上面的方法来解决;例4设O是 AABC的重心，且OA=5, OB=12, OC=13，求AABC的面积.分析：若学生对数字比较敏感，则能发现5,12,13有明显的几何意义，因为有52 + 122 = 132，由此想到可以利用勾股定理构造直角三角形来解题.解：如上图，延长AO到D,使0D二AO,设AD交BC于E,连结BD、CD, 则容易证明四边形OBDC是平行四边形，从而有DC=OB=12, BD=OC=13,又 0D=A0=5，由 52 +122 = 132知厶OBD 是直角三角形，ZBOD = 90,1从而 BOAO,又有 AO=OD,所以S= S= x5 x 12 = 30 , ABOOB
8、D 2又重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等，所以 S二 3 x 30 二 90.ABC类 似 的 数 组 还 有(1)3,4,5;(2)7,24,25;(3)11,60,61;(4)12,35,37;13,84,85;(6)20,21,29;(7)60,91,109;这些数组都满足两数的平方和等于另一个数的平 方.由此我们可以总结出结论：设0是AABC的重心，满足IA0I2 + IBOI2 =IOCb，贝3S 二-x I AOI IBOI. ABC 2具体证明可以仿照例4证明：不妨我们设I AO I= a,I BO I= b,I OC I= c,则a,b,c均为正数，如上图，延长A0
9、到D,使OD=AO,设AD交BC于E,连结BD、CD,则容易证明四边形OBDC是平行四边形，从而有DC=OB= b，BD=OC= c，又 OD=OA=a，由 I AO I2 + I BO I2 =I OC I2 知 a2 + b2 = c2，从而可知厶OBD是直角三角形，ZOBD = 90,11所以有 BOxAO,又有 AO=OD,所以 S= S =x a x b = ab， ABOobd 22又重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等，13所以 S= 3 x ab ab, ABC223即S =x I AOI IBOI，结论得证. ABC 2小结：由上可知，一般地，如果在数学题目中出现代数
10、式的平方和，或者通过题目的条件能化简 出代数式的平方和，又或者题目中所含的数字满足勾股定理，而且题目难以通过一般的代数求解， 这时可以转换思维，从几何的角度思考，利用勾股定理构造处直角三角、矩形等来解题，往往能 事半功倍.112构造图形解三角代数问题对于三角代数问题，一般我们采用对左边进行积化和差与和差化积运算，由于项目繁多，而 且还要根据角度的不同适当配项，往往容易出错。不难发现，很多这样三角函数的题目都具有一 定的规律性，只要找出这样的一些规律，问题就会迎刃而解。下面介绍两种题目。这里以余弦为 例，正弦的情况类似。1121角度成倍增加，可以考虑构造等腰三角形。即以cosacos2a + c
11、os na 的形式 出现兀2兀3兀1例 5 证明 cos丁 - cos + cos =27N解:在ON边上取OA=1,以OA为腰作等腰三角形 OAB,2n则 ZBAN=-7又以AB为腰作等腰三角形ABC,3兀 则 Zmbct3兀 又以BC为腰作等腰三角形ABCN,则/ODC=y冗 3兀于是在AdOC 中，/OCD=n-ZDOC-ZODC=n -故厶DOC为等腰三角形，即OD=OC,c 兀 c3兀而 OB=OB+BD= 2cos + 2 cos 2兀OC=OX+AC=1 + 2c cos 7c 兀 c3兀c2兀2 cos + 2 cos = 1 + 2c cos 兀3兀2兀1即 cos + co
12、s+ c cos=7772777对于 cos a cos (a + p) hf cos n(a + (n 一 1) p), 我们可以通过构造图形，在数轴ox轴上方以原点为起点逆时针方向作正n边形oo o .o ，其中边长为1,与x轴正方向夹角为a , 1 2n-1由于B为正n边形外角，所以矢量oo , oo，o o，与ox轴正方向夹角分别为a，a + 11 2n-1B，,a +(n-1)B这些矢量在ox轴上的投影分别是cos a, cos (a + p)，,cos n(a + (n 一 1) p),由于矢量oo , oo o o构成封闭图形11 2n-1故 oo + o o Ho o = 01
13、1 2n-1因此边向量在ox轴上投影的代数之和亦为0.cos a + cos(a + p) hh cos n(a + (n 一 1) p) = 0特别地，当a =0时，有cos卩+ cos n(n 1)卩=一1在这里B的取值只能是正n边形的外角。例 6：求证cos 5 + cos 77 + cos 149 + cos221 + cos293 = 0证明：这里n=5, a =5 , B =72 (恰为正五边形外角)，构造的图形如下图所示O*正五边形的边长为丄，边向量oo1，o1o2，o5。与ox轴正向夹角分别为5, 77, 149 221, 293边向量在ox轴上投影分别为cos5, cos77
14、, cos 149, cos221 , cos293因为 oo + o o +o o = 0 (n=5)11 2n-1因此有 cos 5 + cos 77 + cos 149 + cos 221 + cos 293 = 01.1.3利用余弦定理构造三角形例7设正数x, y, z满足方程组厂1x 2 + xy + y 2 = 25jZ 2 + zx + x 2 =16试求xy + 2yz + 3zx的值.(咅y)2 + z2 -2音y zcos90 = 32分析：元方程组可变形为广 x2 + (+ y)2 - 2x + ycos150 = 52y)2 + z2 - 2 占 y zcos90 = 32z2 + x2 -2zxcosl20 = 42解：构造如上图所示的三角形由可得S + S + S = SPABPACPBCABC2x 存 sin150+2 存z+2zx sin120=1 x 3 x 4.亠11v3乙即有疋xy +帀yz +x = 6,所以 xy + 2yz + 3zx = 24 J3 .小结：一般地，在解三元方程组的时候，如果每个等式的次数都为2,且通过化简可使每个等式 都含有两个未知数的平方代数式的和，这时，用一般的解方程组的方法计算量将很大，如果联想7 / 24到余弦定理，通过对等式作变式变换，看
