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1、.平面向量数量积的物理背景及其含义 教学设计一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进展加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢如果能,运算结果应该是什么呢另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的根本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s(如图 1),则力 F 所做的功图 1W=|F|s|cos功W是一个数量,其中既涉及长度,也涉及角,而且只与向量F,s
2、有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义ab=|a|b|cos.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果 .向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。2、过程与方法：通过物理中功等实例，理解平面
3、向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。3、情感态度与价值观：通过与物理中功的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想一导入新课思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的.思想方法去审视相关物理现象
4、,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比方力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移s,则力 F 所做的功 W 可由下式计算:W=|F|s|cos其中 是 F 与 s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进展加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进展加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以
5、进展乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？二推进新课、新知探究、提出问题ab 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？我们知道,对任意 a,bR,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量 a、b,是否也有下面类似的结论(1)(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.活动:两个非零向量a 与 b,我们把数量|a|b|cos 叫做 a 与b 的数量积(或积),记作 ab,即ab=|a|b|cos(0).其中 是 a
6、与 b 的夹角,|a|cos(|b|cos)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a方向上)的投影.如图 2 为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的围是0180.图 2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为 0,即 a0=0;(3)符号在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用代替;.(4)当 00,从而 ab0;当 p 时,cos0,从而22ab.量的数量积的定义,从数与形两个角度进展探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点投影的概念,如
7、图 4.图 4定义:|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.并引导学生思考:1投影也是一个数量,不是向量;2当 为锐角时投影为正值;当 为钝角时投影为负值;当 为直角时投影为 0;当 =0时投影为|b|;当 =180时投影为-|b|.教师结合学生对投影的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos 的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量.1ea=ae=|a|cos.2a
8、bab=0.3当 a 与 b 同向时,ab=|a|b|;当 a 与 b 反向时,ab=-|a|b|.特别地 aa=|a|2 或|a|= a a .4cos=| aa | bb | .5|ab|a|b|.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:略(见活动).向量的数量积的几何意义为数量积ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos 的乘积.三应用例如思路 1例1 平面上三点 A、B、C 满足| AB |=2,| BC |=1, | CA |= 3 ,求AB BC +BC CA +CA AB 的值.活动:教师
9、引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析.题设然后找到所需条件.因为 AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到ABC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由,|BC |2+|CA |2=| AB |2,所以ABC 是直角三角形.而且ACB=90,从而 sinABC=3,sinBAC= 1 .22ABC=60,BAC=30. AB 与 BC 的夹角为 120, BC 与CA 的夹角为 90,CA 与 AB 的夹角为150.故 AB BC +BC CA +CA AB=21cos120+1 3 cos90+ 3
10、 2cos150=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点一样,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中 AB 与BC 的夹角是 120,而不是 60.变式训练|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60,求(a+2b)(a-3b).解:(a+2b)(a-3b)=aa-ab-6bb=|a|2-ab-6|b|2=|a|2-|a|b|cos-6|b|2=62-64cos60-642=-72.例 2 |a|=3,|b|=4,且 a 与 b 不共线,当 k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直解:a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是(a+kb)
11、(a-kb)=0,即 a2-k2b2=0.a2=32=9,b2=42=16,.9-16k2=0.3k= .4也就是说,当 k= 3 时,a+kb 与 a-kb 互相垂直.4点评:此题主要考察向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练向量 a、b 满足:a2=9,ab=-12,求|b|的取值围.解:|a|2=a2=9,|a|=3.又ab=-12,|ab|=12.|ab|a|b|,123|b|,|b|4.故|b|的取值围是4,+).思路 2例 1 在四边形 ABCD 中, AB =a,BC =b,CD =c,DA =d,且 ab=cd=bc=da, 试问四边形 ABCD 的形状如何？解: AB +BC +CD + DA =0,即 a+b+c+d=0,a+b=-(c+d).由上可得(a+b)2=(c+d)2,即 a2+2ab+b2=c2+2cd+d2.又ab=cd,故 a2+b2=c2+d2.同理可得 a2+d2=b2
