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1、数值计算实践I、方程求根一、实验目的熟悉和掌握Newton法,割线法，抛物线法的方法思路，并能够在 matlab上编 程实现二、问题描述(1) .给定一个三次方程，分别用Newton法,割线法，抛物线法求解.方程的构造方法：(a)根:方程的根为学号的后三位乘以倒数第二位加1再除以1000.假设你的学号为 B06060141，则根为141*(4+1)/1000=0.564(b)方程:以你的学号的后三位数分别作为方程的三次项，二次项，一次项的系数，根 据所给的根以及三个系数确定常数项.例如：你的学号是B06060141，则你的方程是x3+4x2+x+a0=0的形式.方程的根为0.564,因止匕有0
2、.5643+4*0.5642+0.564+a0=0，于是 a0=-2.015790144你的方程为 x3+4x2+x-2.015790144=0.(2)假设方程是sinx+4x2+x+a0=0的形式(三个系数分别是学号中的数字)，重新 解决类似的问题(3)构造一个五次方程完成上面的工作.四次方程的构造：将三次多项式再乘以(x-p*)2得到对应的五次多项式(p*为已经确 定的方程的根，显然，得到的五次方程有重根).(4)将(2)中的方程同样乘以(x-p*)得到一个新的方程来求解注:(1)Newton法取0.5为初值，割线法以0,1为初值，抛物线法以0,0.5,1为初值, (2)计算精度尽量地取高
3、.终止准则：根据| pn - pnFW来终止可供研究的问题:（一）8的取值不同对收敛速度有多大的影响（二）将注（1）中的初值该为其它的初值，对收敛性以及收敛速度有无影响（二）能否求出方程的所有一的根（4）实验报告的撰写实验报告包含的内容：（一）实验目的（二）问题描述（三）算法介绍（包 括基本原理）（四）程序（五）计算结果（六）结果分析（七）心得体会三、算法介绍在本问题中，我们用到了 newton法，割线法，抛物线法。1 .Newton法迭代格式为：f （xk）一“一国当初值与真解足够靠近,newton迭代法收敛，对于单根,newton收敛速度 很快，对于重根，收敛较慢。2 .割线法：为了回避导
4、数值的计算，使用上的差商代替，得到割线法迭代 公式：f （Xk）（Xk -Xk j）Xk 1 = xk -f（Xk） -f （XkJ割线法的收敛阶虽然低于newton法，但迭代以此只需计算一次函数值，不 需计算其导数，所以效率高，实际问题中经常应用。3 .抛物线法：可以通过三点做一条抛物线，产生迭代序列的方法称为抛物 线法。其迭代公式为：p（X）= fXk fXk,Xk_i（X-Xk）fXk,Xk_i,Xk/（X-Xk）（X-Xk_i）其中fXk,Xk, fXk, Xk山Xkj是一阶均差和二阶均差。收敛速度比割线法更接近于newton法。对于本问题的解决就以上述理论为依据。终止准则为：| Xn
5、 -Xn|eps1*x(i)i=i+1;x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1)/n_df(a,n,x(i-1);b=x(i)-x(i-1);if(inn)errorreturn;endendy=x(i);建立n_f.m的源程序来求待求根的实数代数方程的函数，源程序代码为: function y=n_f(a,n,x)% 待求根的实数代数方程的函数y=0.0;for i=1:(n+1)y=y+a(i)*xA(n+1-i);end建立n_df.m的源程序来方程的一阶导数的函数，源程序代码为：function y=n_df(a,n,x)% 方程的一阶导数的函数y=0.0;for i=1:
6、ny=y+a(i)*(n+1-i)*xA(n-i);end在matlata件中执行下列语句并得到的最终结果截图： a=l, 2, 1, -0.3366: *3; x0=0. 5; nn=10C0： epsl=le-8； y=nevt on_ 1 fa, nr xO, eps 1)0. 2240割线法建立gexian.m的源程序，源程序代码为function x=gexian(f,x0,x1,e)if narginei=i+1;z=x-(feval(f,x)*(x-y)/(feval(f,x)-feval(f,y);y=x;x=z;endi在matlata件中执行下列语句并得到的最终结果截图:
7、fun= inline ( x 3+2+x 2+x-0. 3356： gexian (fun, 0, 1, le-S)ans =0. 2240抛物线建立paowuxian.m的源程序，源程序代码为：function x=paowuxian(f,x0,x1,x2,e)if narginei=i+1;h1=y-z;h2=x-y;c1=(feval(f,y)-feval(f,z)/h1;c2=(feval(f,x)-feval(f,y)/h2;d=(c1-c2)/(h1+h2);w=c2+h2*d;xi=x-(2*feval(f,x)/(w+(w/abs(w)*sqrt(wA2-4*feval(f,
8、x)*d);z=y;y=x;x=xi;end在matlata件中执行下列语句并得到的最终结果截图: funFinlineCx3+2*x 2+x-O,3356h); paowuxiandurij 必 0, 53 L le-8)CL 2240研究一：只改变初值由上述结果可知，方程的解在0.2附近，所以将牛顿法为0.2;割线法的初值设为0, 0.4;抛物线法的初值设为0, 0.2, 0.4;牛顿法根据问题1中牛顿法的程序，在matlab软件中执行下列语句并得到的最终结果截 图： H 2, 1,-0,3356; n=3; x0=0.2; epsl=le-8; nn=lDOO; y=nevrton_1
9、区 延 nn, epsl)0. 2240割线法根据问题1中割线程序，在matlab软件中执行下列语句并得到的最终结果截图: finline ( x 3+2*k * 2+x-0. 3356) gestianlfun, Cl, . % 1e-8)i -ans =0. 2240抛物线法根据问题1中抛物线法程序，在 matlab软件中执行下列语句并得到的最终结果 截图： fun=inline( x 2+x-O. 3356)： paowuxian(fun, 0* 2t 0* 4, 1 s-8)ans 二Q. 2240研究二只改变精度将精度由1e-8改为1e-50和1e-100观察迭代次数有何变化牛顿法：
10、根据问题1中的牛顿法的程序，在 matlab软件中执行下列语句并得到的最终结果截图：精度为1e-50时 卒1,2. L-0, 3356; n=3; xO=O. E: nn=1000; epsl=1e_50; y=nevrt on_ 1 (n, x0, nrij ep s 1)I 2240精度为1e-100时 epsl=le-lC0; y=nevrton_l (a, n3 kOj nn, epsl)0. 2240割线法根据问题1中的割线法的程序，在 matlab软件中执行下列语句并得到的最终结果截图：精度为1e-50时 fun= inline(工3+2株2+x-0. 3356 ); gexian
11、 (fun, 0, 1, le-BO)g ans -精度为1e-100时 fun= inline工-3+22+x-04 3356?); gexianffurij 0? lf ls_100)ans =0.2240抛物线法根据问题1中的抛物线法的程序，在 matlab软件中执行下列语句并得到的最终 结果截图：精度为1e-50时 fun=inline ( x* 3+2*x2+x-0.3356); paowuxian(fun, 0, 0 5j L le-505i =10ars =0. 2240精度为1e-100时 paowuxian(funj 0 0* 53 1 j le-100)10ans =0.
12、2240研究结论在只改变初值时，当初值定得越靠近初值，迭代次数就越少 在只改变精度时，当精度越来越大时，迭代次数并几乎不变。综上所述，初值对迭代次数的影响比较大，精度对迭代次数影响不大问题二问题描述根据所给的要求，可知待求的方程为：sin x + 2x2 +x-0.3356 = 0问题分析仍然利用（1）中方法求解这一问题，并利用图解法找到初值，通过观察图像， 将newton法初值设为：0.1,割线法初值设为：0,0.2。抛物线法初值设为：0,0.1,02 图像见下图：43.532.521.510.50-0.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91Newton 法问题一的牛顿
13、法的求解只适用于线性方程，所以在问题二中用其他方法来求解方程。建立newton1.m源程序，源程序代码为：function x=newton1(fn,dfn,x0,e) if narginei=i+1 ；x0=x;x=x0-feval(fn,x0)/feval(dfn,x0);end在matlab软件中执行下列语句并得到最终结果截图 fun= inline ( sin (x) +2*x* 2-hc-O. 3356,)； dfun=inline(J cos; newt on! (fun, dfun (L I, le-8)i -5ans -0.1466割线法利用问题一中的割线法程序，在matlab软件中执行下列语句 gexiandurij Qj Q, 2,1 e-3)ans =0.1466抛物线法利用问题一中的抛物线法程序,在 matlab软件中执行下列语句 paowuxian (fun, 0, 0. 1, 0. 2t 1 e-8)0.1466问题三问题描述按照题目要求对五次方程进行构造为：(x3 +2x2 +x-0.3356)(x-0.224)2 =0问题分析仍然利用一中方法求解这一问题
