第1 2章 抽象与概括

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1、第1 2章抽象与概括12。1抽象概述与过程12. 1. 1抽象概述抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特 征的思维过程。一般说来，人在思维过程中是把客观事物的某一方面特征与其他特征分别开来 给予单独考虑的，当然，还同时要求用概念、范畴、判断、理论等思维形式来固定 这种“单独考察”的结果。实际上，抽象是与具体相对应的概念，具体是事物的多 种规定性的总和，因而抽象亦可理解为由具体事物的多种性质中舍弃了若干性质而 固定了另一 些性质的思维活动。抽象对于认识世界有着重要的意义，对数学认识也具：百十分重要的意义。在 数学中，抽象可以用于“抽象的产物”、“抽象的过程”和“抽象的

2、方法”等几个 意义。当我们说数学概念、数学理论等深刻地反映着现实世界时，所指的就是抽 象的产物、思维结果的抽象；当我们说由具体的量抽象”出自然数的概念，由种种距离的测定中抽象出 测度的概念时，所指的就是作为过程和方法的抽象。12。1。2抽象过程从感性认识出发，通过分析和比较，抽出共同点，撇开差异性的内容和联系， 通过综合得出简单的、基本的规定，这就是合理的抽象。分析、比较和综合是抽 象的基础，没有分析、比较和综合，就找不到事物的异同，也不能区分事物的本 质属性和非本质属性。在抽象过程中，分析、比较和综台相互作用、相互渗透， 抽象的具体过程也干差万别，但都包括如下基本过程：分离、提纯、简略。分离

3、就是暂时不考虑研究对象与其他各个对象之间的种种联系。如研究某事 物的数学现象就撇开其物理、化学、生物等现象，确把特定的数学现象从总体现 象中抽取出来。分离本身就是种抽象，这是抽象的第一步。提纯就是在思维中排除那些模糊的基本过程以及忽略非本质因素，在纯粹状 态下对研究对象的性质和规律进行考察。这是抽象过程中最关键的一步。简略就是对提纯结果所作的必要处理，即对研究结果的一种简化表达方式。 简略也是一种抽象，而且是抽象过程的一个必要环节。例如，平行四边形概念的形成是从学生都看见过的“黑板相对的两边”、。笔 直的两条铁轨”等，通过观察，撇开它们的不同用途、不同质地的材料、不同的 设置、不同的长短等属性

4、，定性定量地抽象表述为“在同一平面内永不相交的两 条直线叫平行线”。通过分离把两边的关系抽取出来，提纯得到“在同一平面内永 不榴交”这本质属性，简略得到上面的简化表达方式。在对事物进行抽象时还要按照以下原则进行：规则1：只有对具有确定联系的对象，或使分析有意义的对象才能进行比较。例如，实数与复数在性质上具有确定的联系，可以进行比较；三角形的边长 和函数的可导性之问就没有确定的联系，不能进行比较。规则2；比较应在同一标准下进行。要比较什么由抽象的需要决定，但在一种比较中要按同一标准。例如，三角 形可以比较它的边，也可以比较它的角，也可以同时比较它的边和角，但不能一 个按边，另个按角来进行比较。规

5、则3：比较应能按一定的程序进行并在有限步内得出结果。这一规则保证“比较”能够“有效”的进行。例-女f1,自然数“大小，的比较 就是符合这条规则的，它可按下述程序进行：立数不同的，位数较多的自然数 较大；位数相同的，先比较最高位的数，若不等，贝I大小已判明；若相等，再 比较下一位的数是否相等，等等，因为比较的两个自然数都是有限的，因此这个 比较能在有限步内得出结果。规则4：对同一性质作的比较应在所研究的所有对象间进行，也可以说，要 进行完全比较。例如，对自然数能否被其他数整除作比较，可以发现有的自然数除了 1和其自身外不能被其他自然数整除，有的有两个以上小于其本身的因数，此外，还有 个自然数1。

6、如果不比较1,那么这个比较就是不完全的。通过合乎以上规则的比较，就可以进一步对对象进行分析，根据对象的共同 点和不同点把对象分为不同的类。上例中我们可以进一步把自然数分为：1、质数 和合数三类。12。2数学抽象的特征数学抽象有以下特征：第一一，数学抽象具有无物质性。数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中 抽取其数与形，因而数学抽象：具有无物质性。第二，数学抽象具有层次性。数学概念是数学抽象的结果，但是不同的数学 概念又表现出数学抽象的层次性。例如，自然数概念是从客观事物中抽缘出来的，字蹲甜表示的数又是在埘数 的抽象后的结果。如d=均，（口，6, 9也）就是对许多具体的整数的整除性的抽歙的结 果

7、。如果说数的抽象是一级抽象，那么字母表示的数的抽象就是二级抽象，进而 还有三级、四级抽象，等等。第i,数学抽象过程要凭借分析或直觉。在数学抽象中，表现为分析型抽象 的一般模式为：阿斗再画=丽网_J1 一 I _J分析型抽象中的分离，就是把事物的本质特征从事物的所有属性中分离出 来；提纯就是把分离出来的本质特征加以提炼，即把其中的非本质属性排除出去； 简略就是把提纯出来的事物本质特征加以简化，把那些多余的属性省去。直觉型抽象。就是不通过分析过程或逻辑思维过程而一下子抓住事物的本质 特征的一种抽象过程。例如，圆的切线是与圆只有一个交点的直线，就是能够通 过直觉去把握它的一种数学概念。对它的抽象要借

8、助于直觉。12。3抽象类型在教学中，抽象的具体形式，按其内容特点来划分，大致分为两大类。1 .表征性抽象表征性抽象是在纯粹的理想的形态下，以可观察的事物现象的特征作为起点 的一种抽象，数学中大多数概念就是表征性抽象的结果。例1分数概念的形成。教学分数的意义时，通过演示教具和操作学具，让学生把-一个圆，一个正方 形，八根彩色小棒，一条线段，各自分成若干等份，标出其中的一份或几份；撇 开各种实物的不同颜色、形状，而仅仅注意它们等分的份数以及所取的儿份。多 次操作后，结合或观图示得出：“把单位1（可以是一个物体，也可以是几个同类 的物体)平均分成几份，表示其中的.份或几份的数，叫做分数”。然后再介绍

9、分 数的表示方法及分数各部分的名称，最后再让学生举出几个不同的分数并说出它 们表示的意义。这样，通过动作思维一建立表象一一抽象思维具体实例， 分数的概念在学生头脑中就初步形成了。2。原理性抽象原理性抽象是在表征性抽象的基础上形成的更高一个层次上的抽象。它已超 出般感性认识的范尉，它把握事物的因果关系及规律性的联系。这种抽象的结 果则是性质、定理、原理等。例2教学同分母加法法则。第步，由观察图形的合并，抽象为分数的加法运算。在这里摆脱了图形是 圆或长方形等非本质特征，抽取出表示整体与部分的关系的数，并把“合并,，转 化为加法运算，从图示中理解同分母加法的运算意义。第二步，观察思考两道算式的共同特

10、征是什么？123325F -一=一-一+=一一5 5 57 7 7这罩舍弃1两个加法算式中具体的数不同的非本质特征，抽出它们共同的本 质特征一每道算式的分母相同，表示分数的单位相同，所以分子直接相加，分 母不变。启发学生自己抽象概括为数学语言：“同分母分数blDI： I,把分f卡目加，分 母不变”。第三步，运用法则，开展演绎。考虑到提供抽象材料的完整性，冉纠织学止卜 计算：(1)19+兰 9： ?(2)19 十三 9=?(3)三 8+三 8=?(4)三 8+三 8=?然后引导学生进一步抽象出：“计算结果，能约分的要约分，是假分数的要化 成带分数或整数。”最后让学生综合为完整的数学结论。12.

11、4概括概述与过程12. 4-. 1概括概述概括是一种由个别到一般的认识过程。概括就是把同类事物的共同属性联结 起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。与抽象一样，概括这概念也是既作为一种思维过程又可以作为这种思维过程所得到的结果来理解的。当我们说从个别事物的本质属性概括出同类事物的共 尉本质属性时，所用的就是“思维过程”的含义；当我们说数学概念是列客观世 界的某一领域的性质的高度概括时，所用的就是“思维结果,，的意义。12。4. 2概括过程概括通常呵分为经验概括和理沦概括两种。经验概括是从事实出发，以剥个 别事物所做的观察陈述为攀础，上升为普遍的认识一一由对个体特性的认识上升

12、 为对个体所属的种的特性的认识。理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种 的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观雎：界的规律的 认识。在数学中经常使用的是理论概括。-一个概括过程包括比较、分析和扩张等几个主要环节。比较和分析的具体做法与抽象过程中的一样，不过在概括过程中，通过比较 枷分析要得到的是某类对象的共同本质。扩张指的是把由比较分析得到的关于对象的共同点推广一到包括这些对绿的 类更一泛的对象的共同本质。这是区别于抽象的一个环节，是概括的关键。，例3由计算知1+2： 3：塑2I+2+3： 6： 3 x421+2+3+4： 10：兰兰主21+2+3+.+19+20： 21

13、0：呈塑2通过对以上19个算式的比较、区分可得出一个共同点：连续若干个从1开始 的自然数的和等于最后的那个数乘以其后继数的积的一半。把这个共同点推广到 所有的自然数，则有1+2+3+.+”： ！!竺12例4在平面上，边数最少的多边形是三角形；在空间中，面数最少的多面 体是四面体。它们在“围成图形的元素最少”方面是相似的。因而可以把平面中 关于三角形的一些命题推到空间四面体上。例如，等底等高的三角形面积相等。 对于空间中的四面体则有：两个等底等高的四面体的体积相等。在扩张中得到的关于更广泛的一类对象的新概念或新命题，对扩张了的对象 来说不一定是真的。为此，就要进行分析。分析实际上是一个演绎证明的

14、过程， 证明扩张得出的结果确实是或不是那一类更广泛的对象的本质属性。12. 4. 3概括与抽象的关系概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。抽象是舍弃事物的一些属性而提纯固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽 象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。例如我们从现实 存在的事物中抽象出“重量”概念来，它与原来的“物体”并无种属关系。概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的 切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括对 象概念的一个属概念。例如在数学中可由平行四边形、菱形等图形概念概括出“四 边形”概念，它是前

15、几个概念的属概念，还可以进一步由四边形、三角形等概念概 括出“凸多边形”的概念，它又是四边形、三角形等概念的属概念。概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。抽象是概括的基础， 没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。概括也是抽象思维过程 中所必须的一个环节，前述“提纯”操作实际上也是一个概括过程，有人就把“提 纯”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象 过程。科学概念通常是抽象和概括共同采用的结果。一般说来，概括的范围越广 泛，得到的概念的内涵就越少，即是说它所反映的事物的性质越普遍，实际反映 的性质就越少，因而从抽象的角度来看，其抽象程度也就越高；而概括范尉较狭 窄的概念，也就是比较具体的概念。反之，抽象程度越高的概念，其提纯的规范 性就越少，反映的事物的本质属性就越多，因而其概括的范围就越大；而较具体的概念，由于它反映着事物的较多的规定性，因而反映的事物就越少，其概括的 范围也就越小。由于抽象和概括是密切联系的两种方法。因此，人们常牦eh象方法和概括方 法统称为抽象概括方法。12。5抽象与概括应用举例12。5. 1抽象分析方法及数学模型的基本思想抽象本身就是分析的特殊形式。在数学中，我们常用抽象加分析构成的抽象 分析方法，把实际问题转化