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1、1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有 n!项，可分解为2n行列式;2. 代数余子式的性质： 、Aj和a的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3. 代数余子式和余子式的关系：Mj =（_1）jAijAij =（_1） jMij4. 设n行列式D :n （n V） 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D ,则D =（一1） D ；n （n V） 将D顺时针或逆时针旋转90；，所得行列式为D2，则D2=.（ -1f D ；Da，则 D D ;D 4，则 D D ;将D主对角线翻转后（转置），所得行
2、列式为将D主副角线翻转后，所得行列式为5.行列式的重要公式：主对角行列式：主对角元素的乘积;、副对角行列式：副对角元素的乘积上、下三角行列式（、| | ）匚和丄：副对角元素的乘积拉普拉斯展开式:n（ n 丄）（-1）F ；:主对角元素的乘积;n （n 二）（-厂；=A B、十1严AIB精品文档#范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积; 特征值；6.7.对于n阶行列式A，恒有： E -An八（-1）kSk ，其中Sk为k阶主子式;证明A =0的方法:、A工一A ; 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax =0，证明其有非零解; 、利用秩，证明r（A） : n ; 、证明0是其特征值；2、矩阵1. A是
3、n阶可逆矩阵：A -0 （是非奇异矩阵）；=r （A）二n （是满秩矩阵）=A的行（列）向量组线性无关；=齐次方程组 Ax =0有非零解；b Rn , Ax =b总有唯一解；=A与E等价；=A可表示成若干个初等矩阵的乘积;=A的特征值全不为 0;AtA是正定矩阵；：=A的行(列)向量组是 Rn的一组基；u A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A : AA* = A A =A E无条件恒 成立；3. (A 丄)* (A*) -(A 丄)T =( AT )丄(A*)T =(AT )*(AB)T =BtAt(AB) =B A(AB)丄二B -A-4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；
4、行列式是数值，可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A、B可逆：若 A =A2 .，则：人Xm1g 1n32nAx =b （向量方程，A为m n矩阵，m个方程,n个未知数）01、(3132II) 3n )X2*4（全部按列分块，其中p =b24込n4 /m1）；、3m 23mnax乜2 X2PnXn -（线性表出）有解的充要条件：r（A）二r（A, J乞n（ n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m个n维列向量所组成的向量组A :冷，2,川，：m构成n m矩阵A二（冷，2,川，m）；pTm个n维行向量所组成的向量组B :厅，伺）1,构成mxn矩阵B=.2；含有有限个向
5、量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关二Ax = 0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出Ax=b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示=AX=B是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵An n与Bl n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax二0和Bx = 0同解；（P01例14）4. r（ At A） =r（A）；（卩仙例 15）5. n维向量线性相关的几何意义： 、线性相关0 ; 、:,:线性相关二:,:坐标成比例或共线（平行）；、: J-,线性相关u : J-;,共面;6. 线性相关与无关的两套定理：若二，2，s线性相关，则：1，：2，1|，:-
6、s，s 1必线性相关；若1,2,川，线性无关，贝V ,2川1,：-s丄必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上 n -r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若 B线性相关，则 A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且 A线性无关，则r空s（二版P74定理7）； 向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） r（B） ； （ P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示二AX二B有解；:二 r（A） =r（A, B）（ P$5定理
7、2）向量组A能由向量组B等价=r（A）= r（B）= r（A, B）（ P$5定理2推论）8. 方阵A可逆u存在有限个初等矩阵 Pi, P2,|,R，使A = RI Pi ；r 、矩阵行等价：A B= PA =B （左乘，P可逆）二 Ax =0与Bx =0同解c 、矩阵列等价：A-B：= AQ=B （右乘，Q可逆）； 、矩阵等价：A- Bu PAQ=B（ P、Q可逆）；9. 对于矩阵Am n 与 Bl n : 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax二0与Bx二0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；10若 Am sBs n -Cm n，则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示， B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，At为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组Bx二0的解一定是 ABx 0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；
