小升初培优

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1、第 39 周“牛吃草”问题一、知识要点牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。 “一堆草可供 10 头牛吃 3 天， 供6头牛吃几天？ ”这题很简单，用 3 X 10十6=5 （天），如果把“一堆草” 换成 “一片正在生长的草地” ，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在 不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问 题。解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。 牧场上原有的草是不 变 的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确 计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。二、精讲精练【例题 1 】一片青草地，每天

2、都匀速长出青草，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周，那么这片草地可供 21 头牛吃几周？这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量即原来的 草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然 在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27X6=162（份）， 此时新草与原有的草均被吃完； 23头牛 9周需吃 23X9=207 （份），此时新草与 原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和； 207份是原有的草的数量与

3、9 周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份 数为：（207-162）-（9-6） =15（份），所以，原有草的数量为： 162-15 X 6=72（份）。这片草地每周新长草 1 5份相当于可安排 15头牛专吃新长出来的草，于是 这片草地可供 21头牛吃72-（ 21-15）= 12 （周）练习 11、一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供 24头牛吃 6天， 20头牛吃 10 天，那么可供 19 头牛吃几天？2、牧场上一片草地， 每天牧草都匀速生长， 这片牧草可供 10头牛吃 20天， 或者可供 15 头牛吃 10 天，问可供 25 头牛吃几天？3、牧场上的青草每天都在匀速生长，这片

4、青草可供 27头牛吃 6周或 23头 牛吃 9 周，那么这片草地可供 21头牛吃几周？【答案】1每天长草量：(20X 10-24 X 6) 一 ( 10-6)=14 (份)原有草量： 24 X 6-14 X 6=60 (份) 可吃天数： 60一( 19-14 ) =12(天)2. 每天长草量：(20 X 10-15 X 10)一( 20-10 ) =5(份) 原有草量：(10-5 )X 20=100 (份)可吃天数： 100一( 25-5 )=5(天)3. 每天长草量： (23X9-27X6) 一 ( 9-6) =15(份) 原有草量：( 27-15)X 6=72(份)可吃时间： 72一( 2

5、1-15 ) =12(周)【例题 2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度 在 减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5天或可供 15头牛吃 6 天。照此计 算， 可供多少头牛吃 10 天？与例 1 不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是，我 们同样可以利用与例 1 类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份，20 头牛 5天吃 100 份，15头牛 6 天吃 90 份，100-90=10(份)，说明寒冷的天气使牧场 1 天减少青草 10 份，也就是 寒冷导 致的每天减少的草量相当于 10 头牛在吃草。由“草地上

6、的草可供 20 头牛吃 5天” 再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于 10 头牛同时在吃草， 所以原有草两有( 20+10)X 5=150(份)，由 150一 1 0= 1 5知道，牧场原有的 草可供 15头牛 吃 10 天。由寒冷导致的原因占去 1 0 头牛吃的草，所以可供 5 头牛吃 10 天。 练习 2：1 、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算， 牧场 上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几 天？2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草 可供 33头牛吃 5天或可供 24 头牛吃 6 天

7、。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10 天？3、经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活300 年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的，那么，为满足人类不断发展 的需 要，地球最多能养活多少亿人？【答案】1每天减少量：（20X 5-16 X 6） - （ 6-5 ）=4 （份）原有草量：（ 20+4）X 5=120 （份）可吃天数： 120-（ 11+4） =8（天）2. 每天减少量：（33 X 5-24 X 6） - （ 6-5 ）=21 （份）原有草量：（ 33+21 ）X 5=270 （份）牛的数量： 270- 10-21=6（头）3. （80X3

8、00-100X100）-（ 300-100） =70（亿）【例题 3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯 上 楼。已知男孩每分钟走 20 级台阶，女孩每分钟走 15 级台阶，结果男孩用 5 分钟到达 楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台 阶”，“牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分： 一部分是男、 女孩自己的速度， 另一部分是自 动 扶梯的速度。男孩5分钟走了 20X5=10 （0级），女孩6分钟走了 15X6=9（0级）， 女孩比男孩少走了 10

9、090=10（级），多用了 6 5= 1 （分钟） ，说明电梯 1 分 钟 走 10级。因男孩 5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。 所以，扶梯共有（ 20+10）X 5=150（级）练习 3：1 、自动扶梯以均匀速度行驶着，渺小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分 钟走 25 级台阶，小红每分钟走 20 级台阶， 结果小明用 5 分钟，小红用了 6 分钟 分别到达 楼上。该扶梯共有多少级台阶？2、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在 20 秒钟里，男孩可走 27级台 阶，女孩可走24级台阶，男孩走了 2分钟到达另一端，女孩走了 3分钟到达另一端， 该扶梯共有多少级台阶？

10、3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只 蜗牛白天爬行的速度是不同的。 一只每天白天爬 20分米，另一只爬 15 分米。黑 夜里往 下滑， 两只蜗牛滑行的速度却是相同的。 结果一只蜗牛恰好用了 5个昼夜到达井底 另一只蜗牛恰好用了 6 个昼夜到达井底。那么，井深多少米？【答案】1扶梯每分钟上行：（25X 5-20X 6）-（ 6-5） =5 （级）扶梯共有台阶数:(25+5)X 5=150 (级)2. 扶梯每分钟上行： 24X(180-20)-27X(120-20)-(3-2) =54(级)扶梯共有台阶数：27X( 120- 20) -54 X 2=54 (级)3.每

11、夜下滑：(20X 5-15 X 6)-( 6-5) =10 (分米)井深：( 20+10)X 5=150(分米) =15(米)【例题 4】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经 进 了一些水。如果用 1 2 人舀水， 3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水，要 10 小时 才能 舀完。现在要想 2 小时舀完，需要多少人？已漏进的水，加上 3 小时漏进的水，每小时需要( 12X 3)人舀完，也就是36 人用 1 小时才能舀完。已漏进的水，加上 10 小时漏进的水，每小时需要( 5 X 10) 人舀完，也就是 50 人用 1 小时才能舀完。通过比较，我们可以得出 1 小 时内漏进的

12、 水及船中已漏进的水。1 小时漏进的水， 2 个人用 1 小时能舀完：( 5X 1012X 3)-( 10 3) =2已漏进的水：( 122)X 3=30已漏进的水加上 2 小时漏进的水，需 34 人 1 小时完成：30+2X 2=34用2小时来舀完这些水需要 17人： 34-2=17(人) 练习 4：1 、有一水池， 池底有泉水不断涌出。 用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干， 用1 5部相同的抽水机 1 0小时可以把水抽干。那么用 25部这样的抽水机多少小 时可 以把水抽干？2、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同 时打 开后，如果每小时注水 30 立方分米

13、， 7 小时可以注满水箱；如果每小时注 水 45 立 方分米，注满水箱可少用 2.5 小时。那么每小时由底面小孔排出多少立 方分米的水(设每小时排水量相同)？3、有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用 3台抽 水机 来抽水，36分钟可以抽完；如果使用 5台抽水机，20分钟抽完。现在1 2 分钟内要抽 完井水，需要抽水机多少台？【答案】1每小时涌出水:（10X 20-15 X 10）-（ 20-10） =5 （份） 原有泉水：（ 10-5 ）X 20=100 （份）抽干需要： 100-（ 25-5 ）=5 （时）2. 30 X 7-45 X（ 7-2.5 ） - 2.5=3 （

14、立方分米）13. 每小时涌出水（3X 36-5 X20） 一 （ 36-20）=（份）21原有泉水： （3- - ）X 36=90 （份）2抽干需要抽水机：（90+丄 X 12）一 12=8 （台）2【例题 5】有三块草地，面积分别为 5, 6,和 8公顷。草地上的草一样厚， 而且长得一样快。第一块草荐地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛 吃 1 4天。问第三块草地可供 1 9头牛吃多少天？前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同 的草 地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即5，6，8=120这样，第一块 5 公顷可供 11 头牛

15、吃 10 天，120一5=24,变为 120 公顷草地 可供 11X 24=264 （头）牛吃 10 天第二块 6 公顷可供 12 头牛吃 14天，120一6=20,变为 120 公顷草地可供 12 X 20=240 （头）牛吃 14天。120一8=15。问题变成： 120 公顷草地可供 19X 15=285 （头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为： 一块草地匀速生长，可供 264头牛吃 10 天或供 240 头牛吃 1 4天，那么可供 285 头牛齿及天？即每天新长出的草:（240X 14264X 10） - （ 1410） =180 （份） 草地原有草：（ 264 180）X 10=840 （份）可供 285 头牛吃的时间： 840一（ 285180）=8 （天） 答：第三块草地可供 19 头牛吃 8 天。练习 5：1、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从 开始 检票到等候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检 票口需 20 分钟。如果同时打开 7 个检票口，那么需多少分钟？2、快、中、慢三车同时从 A 地出发，追赶一辆正在行驶的自行车，三车的 速度 分别是嵋小时 24 千米、20 千米、19 千米。快车追上自行车用了 6 小时，中 车追上 自行车用了 10 小时，慢车追上自行车用多少小时？