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1、例谈一道经典不等式的证明 广东省中山纪念中学 李文东 528454不等式的证明数列是数学教学的一大难点，也是高考的重点，学生在解决这类问题普遍感到比较困难不等式的证明需要广泛联系数学基础知识，融会贯通数学思想，掌握证明的基本方法和思维策略，才能左右逢源，找到证明的方向，突破证明的屏障而研究经典问题的证法是我们掌握不等式证明技巧的最好捷径.经典例题:已知，求证：.证法1：配方法.证法2: 基本不等式1,.由基本不等式：相加即得.证法3：基本不等式2,将以上三式相加得：,从而得到：.证法4：向量法（或柯西不等式）设，则而，平方即可证法5:构造随机变量设随机变量分布如下：的期望.则随机变量分布如下：
2、的期望.利用可立证不等式.证法6:数形结合设，由题意这可以看成是一条直线和圆，且该直线和圆有交点，所以圆心到直线的距离，得，所以.证法7:均值换元法设则，.证法8：三角换元：显然，若有两个为负数时，；若有一个为负数时，不妨设，则，设，则因为，；若均为非负数时，由利用球坐标系可设：，则有利用二次函数知识可知，当时，上式有最小值为；综上：.证法:9:构造函数方法1因为，所以证法10: 构造函数方法2令则故.证法11：利用不等式设，由题意,由于，得，从而.证法12：构造一元二次方程由题意：，所以是方程的两根，由可得.证法13：构造空间图形表示空间中的一平面，它与轴、轴、轴分别交于点，而，即平面内的一点到原点距离的平方，显然，表示原点到平面的距离（利用体积法易得）.证法14：切线法函数为凹函数，它在处的切线位于函数图像的下方，即有不等式：.让取有：，将以上三式相加得：.证法15：利用Jenson不等式函数为凹函数，故，即，得.以上这些证法当然不是一朝一夕就能想到的，然而每一种证法都有它独特的地方，以上的一些证法几乎涵盖了我们高中阶段数学的每个分支，值得我们细细揣摩、品味，体现了数学思想和方法的精妙。也许有人感叹“此曲只应天上有，人间难得几回闻”，但是有时却又何尝不是“文章本天成，妙手偶得之”，只要我们在平时的学习中对一些典型问题加以仔细揣摩，不断积累，终究能达到质变！
