FFT 与小波变换的区别

《FFT 与小波变换的区别》由会员分享，可在线阅读，更多相关《FFT 与小波变换的区别（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、傅立叶变换与小波变换的比较傅立一叶分析和小波分析都是数字信号处理中常川的基本方法，它们岫的共同庶，都是用些 某本的东匹WuHer是用血同cos,小波是用不同的wavelet,如haS 来即合出角种各样 的函瓠傅立M分析是联系时域（或者是空间域）与频幸域的站带，是-种纯额域的应用最为一泛的 信号分析方、送，它在有完全准确的定位性但在时域无任何分辨能力换句话说就是， 傅立*分析反映了整个信号全部时间内的整体颇城特性.小波分折，顾先胆义，就是又小.又波动的分析:小”是指它在时域部具有紧支集或近似紧 支集，这便得小波母函数在时频域奉具有较好的局部mi 密集中; “波动”是指小波函 数且有工负交昔的波动

2、性若要用句话来概括二者.诃大致描述为：傅立叶分析是神能在频域对信号进行准确分析的高效g小波则是针对傅立叶分析在时 域上的不足而提出的，诃以局部集中抛在叶频域对信号进行分析的方法。通俗地说，傅立叶能联系空间（时间）域却频率域，但是不能有尺度的变化.另外，它对于 裁率域反转对应回时域的某处却映乏相应的处理能力，这是它的映贞。也就是说，它可以 告许你，信号田的弁个频率高，但是无法告诉你具体高多少，哪个位置高，为什么这么高， 却不能立刻告诉你，分段平稳信号这两种波形的FFT完全一样！完全分不出信号出现的位置，说明傅里叶变换缺乏时间对频率的定位功能。小波则可以还原。 经过傅里叶变换 之后得到的是频域的信

3、息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆变换可以 完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函 的一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。傅里叶逆变换同样可以理解 为相关，只是此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里 叶变换之后的频域信号之间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总 贡献。可以知道所有有关时间的信息都是由e(ift)导出的。小波就不-样了，具有筝尺度特性，可以把频率强度和位置(对刻)联系起来，定程度上 解决了傅立叶分析分析的缺点.小波分析3经在很多信号分析领域取得了出色的应用.这井不是说小波分析方法可以替代傅立叶分析分析方

4、法。如果是单纯进行频率域上面的分析 就没有必要使用小波分析方法，使用博立叶方法更简单，效果也更好.其翼如果仅仅是为了简单的用用小波的话，只要知道数字滤波器是怎么回手就会做小波分 所了。简单的在普通工程应用中，小波分析就是对个序列做次波波就完了，只不过它这 个滤波不-定是为了乎滑诚噪之类的，它滤波的结果在不同领域有不同的用途，比如说在语 音信号压娜领域，就是利用它滤波以后，有很务。这样-个特点来达到压缩的目的，在信号 奇异性检iW领域，就是利用它湛波之后，原来的信号有突奕的地方，波波结果是-个较大的 值，而没有突变的地方，滤波结果是接近于o的值，不过原本小波分析和傅立叶分析-祥， 都是很复杂的数

5、学分析，只不过恤昭这个人通过些方泣证明了这个分析诃以通过-个 简单的滤波操作米完成.所以以后的丁程应用中只要宜一接滤波就行了。不过滤波算子有很多 种，这就对应于不同的小波分析了1数学理论1.1信号带)的傅立叶变换和小波变换分别定义Fe(t)dt(1)| wDBWf(afb)=-L(与纣由(2)式2中顿)是一平方可枳函数，即顿)e L%R).称作母小波，母小波函数必统满足容许性条件一施L心)是师)的Foun打蛮换。母，破函数通过伸缩与平移可派生出所有的小波*侦也去巾(宰)其中a称为尺度因于，L与频率有对应关系，尺度越 a小成率越高;尺度越大，频率越低#参数h用于时间定位。通过比较2式和3式，可以

6、发现小波变换中引入时间定 位参数，而傅立叶变换没有，这导致傅立叶变换不能在时间和 频率同时定位，而小波变换却可以。L2傅立叶变换和小波变换提取信号频率傅立叶变换是将信号在由不同频率的三角函数构成的 函数空间上投影，它在提取信号频率时有两个特征:(1)不能 实现时间同时定位;(2)信号任一点的特征经过傅立叶变换后 会波及整个傅立叶频率谱，即对非稳定信号处理不够理想。通过小波变换并不能得到频率谱,小波变换的结果(连 续小波变换)是一三维数据，其纵坐标为尺度参数，横坐标为 时间坐标,第三个坐标为信号在不同频率的小波空间的投影 (小波变换因子)，信号的频率越接近那一个频率族，其在该空 间的投影越大。通

7、过在尺度方向加和小波变换因子，即可得 到小波频率谱具体如下式：2Wf(a)= j Wf(a,t)dt(4)Wf(a)代表小波频率谱,横坐标为频率，其值与所使用的 小波有关，具体频率为fre q = founnianL (found manta 1代表 母小波的频率)纵坐标为信号在该频率下的投影。通过连续小波变换结果，可以确定信号在任一时刻或时间区域的频率 特征,这是傅立叶变换不具备的。2博立叶变换和小波变换对模拟信号频率的分析2.1博立叶变换对模拟信号频率的分析尽管Fourier分析极大地推动了信号分析的进展但如 上所述，它有两大缺陷：一是不能时频同时定位，一是对非稳 定信号处理不够理想图1演

8、示了傅立叶频率谱的特征口本文设计了两组混和频率的信号槌和b分别用下面的函数 合成口|sinQ06t)AL50a f(t)=alsin(04t)A50,100b f(t)=sin(0.06t)+sin(0.it)显然,这两组信号具有不同的性质“但是tFonner频率 谱显示两组信号的频率组分是一样的，同时我们可以看到, 傅立叶变换对信号的频率分析具有较高的分辨率，这一点在 图2中也被验证QFrequency /Hz(ijamjsoDiami iix)2nQnm3O0DisriMAFreqiE W /Hz图 1 aqiganl a;b,signal b;c,a 的 Fourier 频率谱；d,b的

9、Fourier频率潜图2信号c(h)和它的连缓小波变换(b)ZJI/AucvnbaJX2,2小波变换对模拟信号频率的分析通过文中所述方法，模拟信号c频率通过小波变换被提 取了出来口信号c用下面的函数合成，信号长度为600。Bin(OJt) M 1,300c s2(t)=lsin(0.2t)住300,6WJ图3信号c的小波频率谱(a )和傅立叶频率谱(b)其小波变换见图A所用小波为成函小波，母小波频 率为0,8压,变换尺度为1,80,所用软件为Matlab 6,5中 wavelet工具箱从图2和图3可见：(1)小波变换可以准确地提取信号 的频率;。)傅立叶频率谱比小波频率谱具有更高的分辨率;通过

10、图2 b可以确定信号的时间频率特征,在每一个时刻 都有一个亮度最高的部分，这说明信号频率主要集中于此， 这是傅立叶变换所不能提供的信息。3总结傅立叶变换分析频率时.分辨频率较高，但不能在提供 频率信息的同时提供时间信息,对不稳定信号处理结果不理 想口小波变换分析信号频率时可以时间频率同时定位，但是 需要选择合适的母小波旌频域内应该只有一个频率峰傅里叶变换：1) 首先傅里叶变换是傅里叶级数(有限周期函数)向(无限周期函数)的扩展，将该函 数展开成无限多个任意周期的正弦或余弦函数的和(或积分)。2) 傅里叶级数中各项系数例如cosx项系数是原函数与其在某一定义域内的积分，显然我们 可以将该过程理解

11、为对这两个函数进行相关，将相关系数作为该频率处的强度。3) 经过傅里叶变换之后得到的是频域的信息，时间信息完全丢失，很多人会问那为什么逆 变换可以完全恢复原始信号？其实，这个可以理解为三维空间离得变换，这里涉及到泛函的 一些知识，其通俗理解方法也将在下边进行解释。傅里叶逆变换同样可以理解为相关，只是 此时需保证变换时t不变，也就是计算某时刻不同频率波形与傅里叶变换之后的频域信号之 间的相关，积分后得到该时刻各频率分量在该时刻的总贡献。可以知道所有有关时间的信息 都是由时。代)导出的。4) 从泛函的角度，我们可以把傅里叶级数中的三角函数1/sqrt(2n),sin(t)/sqrt(n),cos(

12、t)/sqrt(n),.看做一个线性函数空间的一个基，这里与线性代 数里的线性空间有两点不同，第一该处是函数空间，每个元素都是一个函数而不是一个数， 第二这里是无限维空间，基有无限多个元素。但是这并不影响我们的理解。我们可以像在有 限维线性空间中那样将傅里叶变换理解为这个函数在以三角函数为基的空间的展开，而将傅 里叶逆变换理解为一个旋转(或其他变换)，举个例子：一个立方体，正着放的时候我们看 到的是正面(频域)，当我们旋转一下，我们可能看到其他面比如反面(时域)。短时傅里叶变换：由上叙述可知傅里叶变换之后的图像仅包含频域信息，丢失了时域信息，在那些同时需要频 域和时域信息的时候(在什么时候存在

13、哪些频率)就显得无能为力，因此出现了短时傅里叶 变换，短时傅里叶变换认为在一个小的时间段deltat内信号是稳定的，信号包含的频率是不 变的，利用一个窗口函数与原始函数卷积，在特定的时间仅计算该时间前后共deltat时间内 的信号的傅里叶变换作为该时间点的傅里叶变换，即该时刻的频谱。小波变换：虽然短时傅里叶变换可以解释一些问题，但是由于窄的窗口函数时间分辨率高但是频率分辨 率低，而宽的窗口函数频率分辨率高但时间分辨率低，低频信号时间分辨率较低而频率分辨 率较高，此处时间分辨率低很容易理解，因为波长越长，他在不同的时段的贡献就越多，前 几个时段或后几个时段都可能也包含了部分信号导致针对某一频率在

14、时间变化时得到的相 关系数变化缓慢，尖峰较宽，分辨率低，对于频率分辨率不是很好理解，我是这样理解的， 低频信号波长较长，在于原始信号相关时微小变化对相关系数影响大，而高频信号波长短， 频率的微小变换对相关系数的影响不是很明显。而短时傅里叶变换窗口大小固定，不能同时 得到较好的时间和频率分辨率。这样便产生了小波，小波可以理解为是在短时傅里叶变换的基础上对窗口函数增加了一个尺 度因子，该尺度因子随着频度变化而变化，使得在低频时降低窗口宽度增加时间分辨率而在 高频时增加窗口宽度增加频率分辨率。暂时写到这里，各位有什么精彩的理解或指教尽管发言，谢谢。来源：李端顺|分享(35) |浏览(113)源地址：

15、http:/ )这个波形 分解成许多不同频率的正弦波的叠加。这样我们就可以把对原函数f(t)的研究转化为不同频 率分量的幅值和相位的研究。从傅里叶变换公式可以看出，它是以正弦波及其高次谐波为标准基的，因此它是对信号 的一种总体上的分析，具有单一的局部定位能力，也就是在时域的良好定位是以频域的全部 信号分析为代价的，对频域的良好定位是以时域的全部信号分析为代价的，时域和频域分析 具有分析上的矛盾，傅立叶变换的频率谱中要么频率是准确的而时间是模糊的，要么时间是 准确的而频率是模糊的，它不可能同时在时域和频域都具有良好的定位的能力。傅立叶变换 是建立在平稳信号的基础上的，在非平稳时变信号的分析上，它却无能为力。傅立叶变换把信号的时域特征和频域特征联系在一起，使我们可以从信号的时域和频域 两个角度观察和分析信号，但是二者却是绝对分离的，即在频域不包含任何时域信息，在时 域中同样找不到任何频域信息的影子。对于傅立叶频谱中的某一频率，不知道这一频率是何时产生的，只能从全局上分析信号。这样在信号分析