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1、第四章力学量用算符表达与表象变换4.1）设A与B为厄米算符，则1（AB + BA）和凄（AB - BA）也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可 22i分解为F = F + iF，F与F均为厄米算符，且+-+-F = 1（F + F + ）F = （F F +）+22i证：i） 1（AB + BA） + = 1（B+A + + A+B +）= 1（BA + AB ）=1（AB + BA）22221（AB + BA）为厄米算符。ii）（AB BA） + =（B+A + A+B +）=- （BA AB ）= （AB BA）_ 2i2i2i2i1（AB BA）也为厄米算符。2iiii）令 F =
2、AB，则 F + =（AB）+ = B+A + = BA，且定义F = （F F +）2i（1）由 i ），ii ）得F+ = F ,F + = F，即F和F皆为厄米算符。-+-则由（1）式，不难解得F = F + iF4.2）设F（x,p）是x, p的整函数，证明lx, F = ih Fdp整函数是指F（X, p）可以展开成F （X, p）=芝C Xmpn o mnm,n=0证： （1）先证 L, Xm =-mihxm1,X, p= nihpn1Ip, x = Xm1 p, x+ L, Xm1 X=ihxm1 + Xm2 p, XX + pXm2 =2ihXm1 + Xm3 p, XX2 +
3、 p, Xm3 X3=3ihxm1 + 板,Xm3 X3=（m - 1Mxm1 + Ip, Xm（m1） Xm1=-（m - 1）hx m1 一 ihxm1 = mihxm1同理，L, pnL pn-1 L, p+ L, pn-3p=ihpn-1 + pn-2 L, pp + L, pn-22=2i 方pn-1 + L, pn - 2 -p 2 = =nihpn-i现在，p, F =p,切 C Xm pnmnm ,n=0顷竺dx=切 C p, Xm pnm ,n=0吊（十）=七 C J minxm-1 勺 nm,n=0=工 C （ mihxm-1 ）pn。mnm, n=0p, F =i 方Fd
4、xlx, F =X,切 C Xmpnmnm,n=0= C xmmnm,n=0方dF厂in =C xmdpmnm ,n=0= C xm x, pnm, n=0.Jn-1）L, F = ih F dp4.3）定义反对易式,B+= AB + BA，证明aB,C= ab,C - A,C B,BC= a,B C-ba,C+证：CA）BAb, c = aB, c - a, c B=ABC ACB + ACB CAB = A（BC + CB）-（AC +=aB, C - A, C BA, BC = A, BC + BA, C= ABC - BAC + BAC - BCA=（AB + BA）C - B（AC
5、+ CA）= A, B C - BA, C+ +F-F-4.4）设A，B，C为矢量算符，A 和 B的标积和矢积定义为A - B = A B ,A x B，= A Ba aaPy a PaaPy以，P，丫 = x, y, z , 为 Levi-civita 符号，试验证C ), yA - B x C= x BC = ye ABCaPy a 0 丫L C -】-C -)A x B x C= A - B C- A - BCC ) 1 C ) 一Ca)坛 x B)x C= A - B C- A B - C(1)(2)(3)证:(1)式左端=ABxC)= A (B C -B C )+ A(B Cx y
6、z y z y z xB C )+ A G C B C)(1)(2)=y aP?Aa BpCyaPy (. 一)，尸式右端也可以化成 AxB，. C = ya AaB C。L (广 U )式左端=A x B x C = A B x C - A B x C、P)=ApB Cp + AB C(1)式得证。a p y y I=* C p- B p Ca)- AyR Ca-Ba C()C)端=A - B C- A - BC(以=1,p = 2, y = 3 )yayBP* Ay By(2)式右 aaaa=ABC + ABC + ABC - ABC - ABC - ABCa a a P a P yay
7、a a a P P a y y a=ABC + ABC -4 B + A B CP a P yay PP y y a故(2)式成立。(3)式验证可仿(2)式。4.5)设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明-L(1)(2)F, A. B=F, AB + A. F, BF, A x 万=F, A-t B + A x F,B-l(-)- A-证：(1)式右端=FA B + A - FB BF=FA B - AF B + A FB - A BF=FA B - A BF = F, A B= (1)式左端)C )(2)式右端A AFx B + A x FB BF，=FA x B - AF x B + A
8、x FB - A x BFL 一 一1=FA x B - A x BF = F, A x B=(2)式左端-rb-4.6）设F是由r , p构成的标量算符，证明L, F = ih 竺 X p -ih r x dpd r证：L,I=L ,f +L,F +L,Fkylx, F= lypz - zpy, F= yip , F+ y, F5 % + 访.dFpz=ihdpX ydF时zz -也一 Z ydFdF+ ihz -ih pzJ dFdF)-i云Z制L, F pyr =ihIdF一 ih r xI同理可证，,F = ihId pAx p7y-ih r x将式（3）、zr =ihIdF x p
9、d p一 ih r xIdF Ad r 7z（1）（2）（3）（4）（5）（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。p x L + L x p = 2ih pih x L- Lx )= L2, p。证：p x L + Lx p) = p L - p L + L p - L p = p ,L L L ,px y z z y y z z y y z y利用基本对易式La, p 3 = L ,L L ih)x L + L x p，x4.7）证明a 3即得=2ihp 。因此p x L + L x p = 2ih p由于px和L对易，所以其次， x xL2, p = L 2, p + L 2,p -
10、L L, p Ly x Z x y x yih p L - L p + p L + L pz y y z y zz y= ih p L - p L - L p - L py z z y y zz y上 一 T 一)=ih p x L L x p()V* i i ) I fe I因此，ih p x L - Lx p = L2, p+ L L , p +L , p L )y y x z x z3(1)(2)(3)(4)因此2L2 = r 2 p(2)().r p + ih r p(L x p)p = L x p 0可得利用公式， Lx p * x L)=k x p pl L=Lf p) L . )
11、p L = Lp 20) L = L p 2 L x p) = L x p )L x p )= L p xL x pl-)=L p2L p Lptx L)= t x L) x L)= x L )x p l Ll q. 2p2 p L p L = Lp2=L2 p 2(A)()4.8)证明 L = r2p2 r p + ihr pL x p ) = f x L) =x p )f x L )= L p 2 x l) L x )= L2 p 2 + 4h 2 p 2L x p )xL x p )= -ih Lp 2(1)利用公式，a B x Z A x)e，有证:()()()()L = p x、/
12、r x p = px rx r - p = p r r p rrp=pr2/P prrp，)其中p r 2 = r 2 p - ih r 2 p - 2ih r p x r = r - p ih (- )= r - p 3ih由则(2)得证。(3) p x L Lx p 4.7) V x L p x L 2ihp() 厂)=x L差2ih px L，. p4.7) Lp2 2ihbihp L x p,p 些 Lp2 + 4h2p2(4)就此式的一个分量加以证明，、由4.4) (2),、)其中 L p = pL + ih p e p eExXz z y y.=r Ir、， , p i + p j + p k = 0 + ihp j ihp k )xx yzzyExp)xLxp)I=(Lxp)pL + ihLxp)( e、-/p e x ( ) - I ( -)z z_ ( y_) =ih % x p s p = ih % p p - Lp = ihLp 2 = -ihL p 2题得证。类似地。可以得到y分量和z分量的公式，故(4)4.9)定义径向动量算符pr p+p r1) rJ证明：(a)(b )=-ih(c )(d)
