《福建师范大学21春《复变函数》离线作业2参考答案1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学21春《复变函数》离线作业2参考答案1（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学21春复变函数离线作业2参考答案1. 求通过坐标原点，与曲面x2-2yz-2y+4z-3=0相切而且与直线相交的直线方程求通过坐标原点，与曲面x2-2yz-2y+4z-3=0相切而且与直线相交的直线方程设所求直线方程为 因为所求直线与相交，所以 即X-Y+Z=0且X:Y:Z2:1:(-1)， 令，则有 x=tX,y=tY,z=tZ,代入曲面方程得 (tX)2-2t2YZ+2tY+4tZ-3=0, 即(X2-2YZ)t2-(2Y-4Z)t-3=0，因为直线与曲面相切，所以 (2Y-42)2+12(X2-2YZ)=0, 即Y2-4YZ+4Z2+3X2-6YZ=0, 由得X=Y-Z, 代
2、入得Y2-10YZ+4Z2+3(Y-Z)2=0， 即4Y2-16YZ+7Z2=0， 即(2Y-7Z)(2Y-Z)=0, 所以2Y=7Z或2Y=Z， 当2Y=7Z时， 当2Y=Z时， 所以求得X:Y:2=5:7:2或X:Y:Z=(-1):1:2， 故所求直线方程为 与 2. 若(G，*)是由三个元素构成的三阶群，则(G，*)是交换群( )若(G，*)是由三个元素构成的三阶群，则(G，*)是交换群()正确3. 设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：设(A，*)是一个半群，而且对于A中的元素a和b，如果ab必有a*bb*a，试证明：由题意可知，若a*b=
3、b*a，则必有a=b 因为(a*a)*a=a*(a*a)，所以a*a=a$因为a*(a*b*a)=(a*a)*b*a=a*b*(a*a)=(a*b*a)*a，所以a*b*c=a$因为(a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*(b*c) =a*(b*c)=(a*b)*(c*a*c) =(a*b*c)*(a*c)，所以a*b*c=a*c 4. 从点(2，0)引两条直线与曲线y=x3相切，求由此两条切线与曲线y=x3所围图形的面积从点(2，0)引两条直线与曲线y=x3相切，求由此两条切线与曲线y=x3所围图形的面积如下图所示，设切点为(x0，)，则切线斜率为3，切线方程为y= 因为切线过(2，0)
4、点，所以有 ，解得x0=0，x0=3 即切点坐标为：(0，0)，(3，27)，相应的两条切线方程为 y=0，y=27x-54 选积分变量为y，则所求面积为 = 5. 计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.高等数学复旦大学出版第三版上册课后答案习题二计算曲线y=coshx上点(0，1)处的曲率.计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.答案仅供参考，不要直接抄袭哦6. 设有任意两个n维向量组1，m和1，,m，若存在两组不全为零的数1，m和k1，km，使(1+k1)1+(m+km)m设有任意两个n维向量组1，m和1，,m，若存在两组不全为零的数1，m和k1，km，使(1+k1)1+
5、(m+km)m+(1-k1)1+(m-km)m=0，则()A1，m和1，m都线性相关B1，m和1，m都线性无关C1+1，m+m，1-1，m-m线性无关D1+1，m+m，1-1，m-m线性相关D7. 讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.讨论函数f(x)=2x+1在点x=1处的连续性.因为函数在f(x)=2x+1在点x=1的任一邻域内有定义，且，所以函数f(x)=2x+1在点x=1处连续.8. 证明每个结点的次数至少为2的图必包含一个回路证明每个结点的次数至少为2的图必包含一个回路设L是图G中最长路中的一条，设其长度为m，这条路的一个端点设为a，考察G中与a关联的那些边，这些边中任何一
6、条边的另一端必在L上，否则，将这个结点加进L中就可得到一条更长的路 如果G中每个结点的次数至少为2，那么a也要关联于一条不在L上的边e，若e是环，则e本身就是回路，否则，边e的另一个端点b(与a不同的点)在L上，而连通L中a到b的子通路与边e就组成一个回路本题证明时所设L是考虑了能否构成环的最坏情况(见图(a)，除两头外，其他结点的次数为2(满足至少为2的最少次数情况)，如果不按L来安排结点在图中位置的话，已经可出现回路 由于条件给出每个结点的次数至少为2，那么结点a及L中的另一端点的次数就不会是1，故会有如图(b)所示的情况由a引出的另一条边e的另一头必会去与另一结点相连(如结点b，因为按最
7、差情形所有点均放到了L上)，此时已出现了回路 9. 设f(x)在x=x0的附近二阶连续可导，f&39;(x0)=0，f(x0)0，则f(x)在x=x0处有( ) (A) 极大值 (B) 极设f(x)在x=x0的附近二阶连续可导，f(x0)=0，f(x0)0，则f(x)在x=x0处有()(A)极大值(B)极小值(C)拐点(D)既非极值点也非拐点B根据洛必达法则， 说明当x充分接近x0时，f(x)-f(x0)0即x=x0是f(x)的极小值点 10. 若曲面在某一参数表示下，E，F，G为常数(E0，G0，EGF20)，证明：该曲面是可展的若曲面在某一参数表示下，E，F，G为常数(E0，G0，EGF2
8、0)，证明：该曲面是可展的正确答案：证法1 根据注291中的Gauss方程(正交曲线坐标下)：rn以及例277推得该曲面是可展的在一般情形下由定理241的证明又因为gij都为常数所以联络系数再由定理292(Gauss绝妙定理)证法2知rn且KG=0由例277推得该曲面是可展的证法2第一基本形式I=Edu2+2Fdudv+Gdv2是一个二次型参数可作一个常系数的非异线性变换使得I=du2+dv2由此可看出曲面与平面等距故该曲面为可展曲面证法1根据注291中的Gauss方程(正交曲线坐标下)：以及例277推得该曲面是可展的在一般情形下,由定理241的证明,又因为gij都为常数,所以联络系数再由定理
9、292(Gauss绝妙定理)证法2,知且KG=0由例277推得该曲面是可展的证法2第一基本形式I=Edu2+2Fdudv+Gdv2是一个二次型参数可作一个常系数的非异线性变换,使得I=du2+dv2由此可看出曲面与平面等距故该曲面为可展曲面11. 若级数与分别收敛于S1与S2，则( )式未必成立 A B C D若级数与分别收敛于S1与S2，则()式未必成立ABCDD12. 不存在这样的函数f：在区间a，b上增且使得f&39;(x)在a，b上积分值fdx。( )A.正确B.错误参考答案：B13. 设y=x3ex，求y(n)设y=x3ex，求y(n)y(n)Cn0x3ex+Cn13x2ex+Cn2
10、6xex+C3n6ex=x3ex+3nx2ex+3n(n-1)xex+n(n-1)(n-2)ex14. 设数列un为等差数列，un0(n=1，2，.),证明：级数是发散的设数列un为等差数列，un0(n=1，2，.),证明：级数是发散的设u1=a，un=u1+nd=a+nd，其中d为公差，则当un0时，有 不妨设公差d0，可知必定存在N，使a+Nd0，因而当nN时，(如果d0，必定存在N，使a+Nd0，因而当nN时，) 由于，且当d0时有 由正项级数极限形式的比较判别法可知： 当nN时，a+nd0时，发散，若当nN时，a+nd0，发散,因此不论a+nd0还是a+nd0，可知发散只需写出un的一
11、般表达式可解 15. 求通过点N0(1，4，-2)且与两平面1：6x+2y+2z+3=0与2：3x-5y-2z-1=0均平行的直线方程。求通过点N0(1，4，-2)且与两平面1：6x+2y+2z+3=0与2：3x-5y-2z-1=0均平行的直线方程。由于平面1的法向量为n1=(6，2，2)，2的法向量为n2=(3，-5，-2)，因而所求直线的方向向量s=n1n2=(6，18，-36)=6(1，3，-6)，所以，由点向式得直线的标准方程为 16. 设F(x)f(-x)，且f(x)有n阶导数，求F(n)(x)； (2)设f(x)xe-x，求f(n)(x)设F(x)f(-x)，且f(x)有n阶导数，
12、求F(n)(x)； (2)设f(x)xe-x，求f(n)(x)正确答案：解 (1)F(x)-f(-x) F(x)(1)2f(-x)F(k)(x)(-1)k fk(-x)rn F(k1)(x)(F(k)(x)(-1)kf(k)(-x)(-1)k+1fk+1(-x)rn由数学归纳法证明成立即F(n)(x)(-1)nfn(-x)rn(2)f(x)e-x+e-x(-1)x(1x)e-x-(x1)e-xrn f(x)-e-xxe-xe-x(-1)2(x2)e-xrn f(x)(-1)3(x3)e-xrn f(k)(x)(-1)k(xk)e-xrn f(k1)(x)(-1)k(xk)e-x)(-1)ke-
13、x+(xk)(-e-x)rn (-1)k+1(x(k+1)e-xrn由数学归纳法知f(n)(x)(-1)n(xn)e-x解(1)F(x)-f(-x)F(x)(1)2f(-x),F(k)(x)(-1)kfk(-x)F(k1)(x)(F(k)(x)(-1)kf(k)(-x)(-1)k+1fk+1(-x)由数学归纳法证明成立,即F(n)(x)(-1)nfn(-x)(2)f(x)e-x+e-x(-1)x(1x)e-x-(x1)e-xf(x)-e-xxe-xe-x(-1)2(x2)e-xf(x)(-1)3(x3)e-xf(k)(x)(-1)k(xk)e-xf(k1)(x)(-1)k(xk)e-x)(-1)ke-x+(xk)(-e-x)(-1)k+1(x(k+1)e-x由数学归纳法知f(n)(x)(-1)n(xn)e-x17. 已知两条光滑的平面曲线C1:f(x,y)=0及C2：(x,y)=0，又点P(，)C1，点Q(，)C2，且P，Q都不是曲线的端点，试证：已知两条光滑的平面曲线C1:f(x,y)=0及C2：(x,y)=0，又点P(，)C1，点Q(，)C2，且P，Q都不是曲线的端点，试证：如果这两点是
