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1、5.研究将鹿群放入草场后草和鹿两种群的相互作用。草的生长遵从Logistic规律，年固有增长率0.8，最大密度为3000（密度单位），在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉1.6（密度单位）的草。若没有草，鹿群的年死亡率高达0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为1.5。作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：（1）比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。（2）适当改变参数，观察变化趋势。解：设1草独立生存，独立生存规律遵从Logistic规律；2草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；3鹿无法独立生存。没有草的情
2、况下，鹿的年死亡率一定；4假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数；5每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。记草的固有增长率为r，草的最大密度为N，鹿独立生存时的年死亡率为d，草最茂盛时鹿的食草能力为a，草对鹿的年补偿作用为b；第k1年草的密度为 ，鹿的数量为 ，第k年草的密度为 ，鹿的数量为 。草独立生存时，按照Logistic规律增长，则此时草的增长差分模型为 ，但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下方程： （ ） （1）鹿离开草无法独立生存，因此鹿独立生存时的模型为 ，但是草的存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程： （ ） （2）另外，记初始状态鹿的数量为 ，
3、草场密度初值为 。各个参数值为：， ， ， ， 利用MATLAB编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：%定义函数diwuti，实现diwuti-Logistic综合模型的计算，计算结果返回种群量function B =diwuti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) % 描述diwuti-Logistic综合模型的函数 x(1) = x0; % 草场密度赋初值 y(1) = y0; % 鹿群数量赋初值 for k = 1 : n; x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N; y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)
4、/N)*y(k); end B = x;y;%clear allC1 =diwuti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2 = diwuti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k = 0 : 50;plot(k,C1(1,:),b,k,C1(2,:),b,k,C2(1,:),r,k,C2(2,:),r,),.axis(0 50 0 3000);xlabel(时间/年)ylabel(种群量/草场：单位密度，鹿：头)title(图1.草和鹿两种群数量变化对比曲线)gtext(x0=1000)gtext(x0=3000)gtex
5、t(草场密度)gtext(鹿群数量)比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况（绘制曲如图1所示）： 由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约40-50年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。使用MatLab计算可以得到，当 ，即两种群数量的平衡点为（1800，600）。为进一步验证此结论，下面通过改变相关参数，研究两种群变化情况，找到影响平衡点的因素：（1）改变草场密度初始值；从图2中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡
6、点造成影响。（2）改变鹿的数量初值由图2可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上也不会改变最终种群数量的平衡值。但是，我们可以看到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在515区间内降低到了非常小的值，这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的，因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存在域值的。当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。综合上面分析，可以在此得出一个结论：最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量存在上限。（3）改变草场的最大密度N，画图比较结果；如图4所示，如果草场密度的最大值N发生变化，则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。结论：N值越大，平衡点两种群的数量就越大；N越小，平衡点两种群的数量就越小。（4）改变鹿群独立生存时的死亡率实验中，改变了鹿单独生存的死亡率得到如图5.1和5.2两幅图，可以得出结论：鹿单独生存的死亡率越大，则两种群数量达到平衡点的时间越短；相反，鹿单独生存的死亡率越小，则两种群数量达到平衡点的时间越长（甚至有可能会出现分叉、混沌）。 （5）草场密度对鹿数量的补偿作用变化（b变化）从图中可以看到，如果b增大，则达到稳定点的时间会加长，但如果b减小则会有一个域值，当b低于域值时，草鹿种群数量的平衡时将不收敛于同一个平衡点，出现多值性。
