中考数学专题复习讲义共十讲

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1、 中考数学专题复习讲义一 新情境应用问题、综合问题精讲： 以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.、典型例题剖析【例1】如图（8），在某海滨城

2、市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米.(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)解：(1)100；（2）； 作于点H，可算得（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为

3、：（千米）141（千米）城市O不会受到侵袭。点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形利用三角函数知识来解决，也可借助于方程 【例2】如图215所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以 24海里时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：需要几小时才能追上(点B为追上时的位置)确定巡逻艇的追赶方向（精确到01）解：设需要t小时才能追上，则A B=24 t，OB=26t （l）在RtAOB中，OB2= OA2+ A B2， 即（26t）2=102

4、+（24 t）2 解得t=l，t=1不合题意，舍去，t=l， 即需要1小时才能追上 （2）在RtAOB中，因为sinAOB= =0.9231 ，所以AOB6 74， 即巡逻艇的追赶方向为北偏东674 点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图 【例3】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。按该公司要求可以有几种购买方案？若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？ 解：（1）设购买甲种机器x

5、台，则购买乙种机器（6x）台。由题意，得，解这个不等式，得，即x可以取0、1、2三个值，所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为175532万元；，新购买机器日生产量为1100560400个；按方案三购买机器，所耗资金为274534万元；新购买机器日生产量为2100460440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应

6、选择方案二。【例4】某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?解：根据题意，可有三种购买方案；方案一：只买大包装，则需买包数为：；由于不拆包零卖所以需买10包所付费用为3010=300(元) 方案二：只买小包装则需买包数为：所以需买1 6包，所付费用为1 620320(元) 方案三：既买大包装又买小包装，并设买大包装 包小包装包所需费用为W元。则 ，且为正整数，9时，290(元)购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖

7、时，所付费用最少为290元。答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。点拨：数学知识来源于生活，服务于生活，对于实际问题，要富有创新精神和初中能力，借助于方程或不等式来求解。 【例5】如图2-2-4所示，是某次运动会开幕式上点燃火炬时在平面直角坐标系中的示意图，在有O、A两个观测点，分别测得目标点火炬C的仰角分别为，OA=2米，tan=, tan=,位于点O正上方2 米处的点D的发身装置可以向目标C同身一个火球点燃火炬，该火球运行地轨迹为一抛物线，当火球运行到距地面最大高度20米时，相应的水平距离为12米(图中E点)。求火球运行轨迹的抛物线对应的函数解析式；说明按中轨迹

8、运行的火球能否点燃目标C？ 解：由题意可知：抛物线顶点坐标为(12,20)，D点的坐标为(0，2)，所以抛物线解析式为即 点D在抛物线上，所以2= 抛物线解析式为： 过点C作CF丄x轴于F点，设CF=b，AF=a，则 解得： 则点C的坐标为(20,12)，当x=20时，函数值y= 所以能点燃目标C 点拨：本题是三角函数和抛物线的综合应用题，解本题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化为数学问题来解决 二几何探索题巡视探索类问题是近几年中考命题的重点，不少省市还作为压轴的大题。笔者研究了各地中考试卷，对命题特点、解题方法做了一些探讨。本文以中考题为例说明之，供同学们学习时参考。一、实验型探索题

9、例1.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等腰三角形面积的方法：如图1，在ABC中，ABAC，把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m等分。图1 问题提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？ 探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手怎样从正三角形的中心（正多边形的各对称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？ 如果要把正三角形的面积4等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图2(1)），这些线段将这个三角形分成了3个全等的等腰三角形）；再把所得到的每个等腰三角形的底边4等分，连接中

10、心和各边等分点（如图2(2)，这些线段把这个三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后依次把相邻的3个小三角形拼合在一起（如图2(3)），这样就能把这个正三角形的面积4等分了。图2 （1）实验与验证：仿照上述方法，利用刻度尺在图3中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。图3 （2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。 （3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图4）的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？图4 （4）问题解决：怎样从正n边形（如图5）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m等分？（叙述分

11、法，不要求说明理由）图5 分析：这类问题的特点是先给出一个解决问题的范例，然后要求解答一个类似的问题，最后将结论或方法推广到一般情况。这类问题文字较多，首先应弄清楚哪些是范例，哪些是要求解答的问题，然后详细阅读范例，从中领会解决问题的方法，并能运用这个方法解决问题。 解：（1）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别5等分，连接中心和各分点，然后将每3个相邻的小三角形拼在一起，就可将正三角形的面积5等分了（图略）。 （2）先连接正三角形的中心和各顶点，再把正三角形各边分别m等分，连接中心和各个分点，然后把每3个相邻的小三角形拼合在一起，即可把这个正三角形的面积m等分了。 理由：每个小

12、三角形的底和高都相等，因此它们的面积都相等，每3个拼合在一起的图形面积当然也都相等，即把正三角形的面积m等分。 （3）先连接正方形的中心和各顶点，然后将正方形各边m等分，连接中心和各分点，再依次将相邻的4个小三角形拼合在一起，这就把这个正方形的面积m等分了。 （4）连接正n边形的中心和各顶点，然后将这个正n边形各边m等分，再依次将n个相邻的小三角形拼在一起，这就将这个正n边形的面积m等分了。二、操作型探索题 例2.已知线段AC8，BD6。 （1）已知线段ACBD于O（O不与A、B、C、D四点重合），设图6（1）、图6（2）和图6（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S3，则S1_，S

13、2_，S3_；图6 （2）如图6（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、B、C、D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的结论； （3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A、B、C、D所围成的封闭图形的面积是多少。 分析：题（1）实际上是将BD沿AC由下向上移动，计算BC在不同位置时四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（2）是AC沿BD左右移动，计算四边形ABCD的面积，再观察计算结果。题（3）是在更一般的情况下探索规律。这种由浅入深的探索方式是中考探索类问题的特点。 解：（1）24 24 24 （2）对于线段AC与线段

14、BD垂直相交（垂足O不与点A、C、B、D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24。证明如下： 显然， （3）所围成的封闭图形的面积仍为24。三、观察猜想型探索题 例3. （山西省）如图7，正方形ABCD的边CD在正方形EFGC的边CE上，连接BE、DG。图7 （1）观察并猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论； （2）图7中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，说明理由。 分析：证明题是直接给出结论，要求寻找结论成立的理由，而这一类探索题是题目没有给出结论，要求自己下结论，并证明结论成立。这就要求有较强的观察猜想能力。 解：（1）BEDG，证明如下： 在RtBCE和RtDCG中，BCCD，CECG， BCEDCG。故BEDG。 （2）将RtBCE绕点C顺时针旋转90，可与RtDCG重合。四、图形计数型探索题 例4.如图8，在图（1）中，互不重叠的三角形有4个，在图（2）中，互不重叠的三角形有7个，在图（3）中，互不重叠的三角形有10个，则在图（n）中互不重叠的三角形有_个（用含n的代数式表示）。图8 分析：这类图形计数型