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1、“数学化”-小学数学教学的回归文献综述默认分类 2007-11-24 15:29:28 阅读619 评论0 字号：大中小订阅 一、国外相关领域的研究现状和趋势：笔者主要通过检索国内翻译的外文资料及书籍等途径进行查阅，发现国外对于“数学化”教育思想的研究起源于人们对于数学本质特征的认识，且这样的认识在不断变化与深化，现概述如下：（一） 对数学本质特征的认识深化：数学，其英文是mathematics，这是一个复数名词，“数学曾经是四门学科：算术、几何、天文学和音乐，处于一种比语法、修辞和辩证法这三门学科更高的地位。”自古以来，多数人把数学看成是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论
2、知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识（恩格斯），又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的劳动创造。 从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。”欧几里德的算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识，另一个例子是几何中的相似性，“在个体发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然科
3、学、经验科学，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。随着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海在数学与善中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经
4、验科学的观点，著名数学家冯诺伊曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。 对于上述关于数学本质特征的看法，我们应当以历史的眼光来分析，实际上，对数本质特征的认识是随数学的发展而发展的。由于数学源于分配物品、计算时间、丈量土地和容积等实践，因而这时的数学对象（作为抽象思维的产物）与客观实在是非常接近的，人们能够很容易地找到数学概念的现实原型，这样，人们自然地认为数学是一种经验科学；随着数学研究的深入，非欧几何、抽象代数和集合论等的产生，特别是现代数学向抽象、多元、高维发展，人们的注意力集中在这些抽象对象上，数学与现实之间的距离越来越远，而且数学证明（作为一种演绎推理）在数学研究中占据了重要地
5、位，因此，出现了认为数学是人类思维的自由创造物，是研究量的关系的科学，是研究抽象结构的理论，是关于模式的学问，等等观点。这些认识，既反映了人们对数学理解的深化，也是人们从不同侧面对数学进行认识的结果。正如有人所说的，“恩格斯的关于数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的提法与布尔巴基的结构观点是不矛盾的，前者反映了数学的来源，后者反映了现代数学的水平，现代数学是一座由一系列抽象结构建成的大厦。”而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，另外，从思想根源上来看，人们之所以把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，是基于人类对数学推理的必然性、准确性的
6、那种与生俱来的信念，是对人类自身理性的能力、根源和力量的信心的集中体现，因此人们认为，发展数学理论的这套方法，即从不证自明的公理出发进行演绎推理，是绝对可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演绎出来的结论也一定是真的，通过应用这些看起来清晰、正确、完美的逻辑，数学家们得出的结论显然是毋庸置疑的、无可辩驳的。（二） 组成数学整体是一个“思维的实验过程”，即“数学化”思想：事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究
7、的过程，而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一面才得以充分展示。波利亚（G. Poliva，1888-1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德式的严谨科学，但也是别的什么东西。由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数学是一种相当特殊的活动，这种观点是区别于数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。”他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一种组织得很好的
8、状态，”也即“数学的形式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的（应用数学的）活动。这大概就是弗赖登塔尔所说的“数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动”的含义。菲茨拜因（Efraim Fischbein）说，“数学家的理想是要获得严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，这一事实并不排除必须将数学看成是个创造性过程：数学本质上是人类活动，数学是由人类发明的，”数学活动由形式的、算法的与直觉的等三个基本成
9、分之间的相互作用构成。库朗和罗宾逊（Courani Robbins）也说，“数学是人类意志的表达，反映积极的意愿、深思熟虑的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是逻辑与直觉、分析与构造、一般性与个别性。虽然不同的传统可能强调不同的侧面，但只有这些对立势力的相互作用，以及为它们的综合所作的奋斗，才构成数学科学的生命、效用与高度的价值。”1、 “数学化”思想的首次提出：“数学化”思想是荷兰著名数学教育汉斯 弗赖登塔尔于20世纪70年代在他的巨著作为教育任务的数学（1973年）一书中首次提出的。（1）“数学化”的定义：弗赖登塔尔认为，人们在观察，认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来
10、分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫做数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。弗赖登塔尔教授进一步指出：“毫无疑问，学生应当学习数学化；自然先在最低层次，对非数学事物进行数学化以保证数学的应用，接着还应进到下一层次，至少能对数学事物进行局部组织 应当懂得，没有数学化就没有数学，没有公理化就没有公理系，没有形式化也就没有形式体系因此数学教学必须通过数学化来进行”，并且把“数学化”作为数学教学的基本原则之一。1（2）“数学化”的内涵：弗赖登塔尔认为，数学化包含两个层次：对非数学内容进行数学化，以保证数学的应用性；对数学内容进行局部的组织。22、 “数学化”过程中区
11、分出水平和垂直两种成分：特莱弗斯（Treffers）和哥弗里(Goffree)等人进一步研究认为，可在“数学化”过程中区分出水平和垂直两种成分。3其中水平成分是将问题运用数学的方式来陈述，即由现实问题到数学问题的转化，是把情景问题表述为数学问题的过程。大体包括以下内容：确定情景问题中包含的数学成分；建立数学成分与已知的数学模型之间的联系；通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化；找出蕴涵其中的关系和规则；考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现；作出形式化的表述等。垂直的数学化是运用数学工具着手处理，即在数学范畴内对已知符号化的问题作进一步抽象化处理的数学化问题，是从“符号”到“概念”的转化。垂
12、直数学化大体包括以下内容：用公式表示关系；对规则作出证明；尝试运用不同的数学模型；对数学模型进行调整和加工；考虑不同的数学模型的结合和形成统一的新模型；对得到新的数学概念作出公式化的精确表述；一般化等。43、 理论和实践中概括出学生几何思维发展的五种水平：荷兰的范希尔（van Hiele）夫妇在理论和实践两个方面进行了探索和实验，概括出学生几何思维发展的五种水平，即：0水平：直观（Visualization）；1水平：分析（Analysis）；2水平：抽象（Abstraction）；3水平：演绎（Deduction）；4水平：严谨（Rigor）。这为如何通过数学化途径进行数学教学提供一个很好的
13、借鉴。4、 斯托利亚尔对数学活动的描述：前苏联的数学教育家斯托利亚尔指出，数学活动可看作是按下述模式进行的思维活动：（1）“经验材料的数学组织化”，即借助于观察、试验、归纳、类比、概括积累事实材料；（2）“数学材料的逻辑组织化”，由积累的材料中抽象出原始概念和公理体系并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论；（3）“数学理论的应用”即应用理论。其中，数学活动的第一和第三两个阶段（问题的数学化和理论的应用）的重要性并不低于第二阶段（建立合乎逻辑的理论体系）。在科研中如此，在教学中更是如此。纯演绎地进行的教学，按法国数学家绍盖所说，是“无结果且不完全的，教学必须有使大脑建立新结构并由一个思维水平向
14、令一个思维水平发展的阶段”。5（三） 对“数学”更加广义、多面化的理解是不断完善的补充过程，但“数学化”为其核心：有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响也有人认为，数学是一门艺术，“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”。这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（Mogens Niss）等在社会中的数学一文中
15、认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。”前苏联教育家斯托利亚在数学教育学一书中指出：数学教学是思维活动的教学，不是思维活动结果的教学。数学教学是具有数学思维特点的智力活动，其任务是培养学生的思维能力。数学化过程和数学知识是紧密相连的。从知识形成看，知识是经过人们的实践并经过大脑加工形成的，每个知识除包含知识外，还凝聚着形成知识所经历的思维方法和思维形式，也就是说形成知识的同时凝聚着思维因素。从知识学习过程看，我们在学习知识的同时不仅获得了知识，也实践了获得知识的思维方法，在学习知识的过程中发展了思维能力。英国在中小学
16、数学教育目的中提出：“使用和应用数学、数、代数、形体和空间、数据处理”；美国小学数学教育目的则是：课程标准贯彻一条始终不变的主线学习和应用数学；日本更是提出了：“培养学生自觉地把数学应用于日常生活的态度”等等。20世纪80年代以来，美国率先提出了“问题解决”这一响亮的口号，然而“问题解决”更多关注的是解决已经提出的问题，隶属于“数学化的垂直成分”，对如何从现实生活中提炼、加工、抽象、概括出数学问题则较少涉及。二、国内的研究现状及趋势1987年弗赖登塔尔应邀到华东师范大学和北京讲学，1992年他的巨著作为教育任务的数学中译本出版，弗赖登塔尔的教育理念逐渐被我国数学教育界所认同和接受。我国在2002年数学课程标准（实验稿）的基本理念中明确提出：“通过典型例子的分析和学生自主探索活
