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1、计算机图形学课程报告作者：专业：学号：完成日期目录一 Bezier 简介 31.1 历史演变31.2 研究背景和意义3二 Bezier 知识概论 42.1Bezier 曲线 42.1.1Bezier 曲线的定义和性质 42.1.2Bernstein 基函数的性质 52.2.3Bezier 曲线的性质 72.1.4 Bezier 曲线的几何作图法及其应用 82.2Bezier 曲线算法 82.2.1Bezier 曲线的递归分割算法 82.3Bezier 曲线的拼接 92.3.1Bezier 曲线的升阶与降阶 112.4Bezier 曲线中的等周问题 142.4.1 等周问题的概述142.4.2
2、等周问题的一些总结14三 Bezier 应用和发展 143.1 应用143.2 发展153.2.1 求解最优化问题的常用方法163.2.2 全局最优化方面的发展16四总结与致谢16本文总结16致谢17参考文献17一 Bezier 简介1.1历史演变 曲线曲面的计算机辅助设计源于 20世纪 60 年代的飞机和汽车工业。1963 年美国波音公司的 Ferguson 提出用于飞机设计的参数三次方程； 1962年法国雷诺汽车公司的Bezier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统 UNISURF,此前de Casteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD 系统中有同样的设计，但因为
3、保密的原因而没有公布； 1964年 Coons 提出了一类布尔和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学 的Versprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl 和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样 条(Non-Uniform Rational B-Spline，简称 NURBS)；1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS 是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面
4、。1.2研究背景和意义 计算机辅助几何设计始兴于上世纪60年代，最初始于飞机、船舶的外形放样(Lofting)工艺。在当时计算机发展的影响下，为了利用计算机更高效地进行设 计，人们开始寻找研究曲线曲面的各种表示方法，其中最著名、最实用的技术当 是由法国雷诺(Renault)汽车公司的工程师提出的Bezier技术和美国机械工程师 教授Coons提出的Coons技术(本文只涉及Bezier曲线，故只讨论Bezier技术)。 在大多情况下，描述产品外形的曲线只有大概形状或者只知道它所通过的一系列 空间点列，这些点称为型值点，这类曲线叫自由曲线；而计算机辅助几何设计就 是研究自由曲线的表示、设计、显示
5、、分析与综合以及处理等问题。在Bezier曲 线的表示中，预先给定一批控制顶点，通过这些控制顶点生成Bezier曲线，其 形状当然由控制顶点来控制，当然形状的改变也受这些控制顶点位置改变的影响 因此我们可以通过这些顶点的位置改变来调控曲线的形状。 在工程设计和科学实验当中，我们经常要设计或描绘一些不规则的曲线，当利用 计算机对这些不规则曲线进行表达、分析和研究时首要的任务就是对特定的不规 则曲线要建立一个数学模型去描述它，因为在计算机内部图是以二进制的形式存 贮着。一般，碰到的实际问题有以下三种情况：(1) 由已知的一系列准确的数据点来定义曲线，也就是说，要求曲线必须经过所 有的数据点。一般，
6、经常采用多项式插值法，例如样条方程来解决这个问题。(2) 给定一些离散的数据点，这些数据点仅是某些未知真实值的近似数据。要求 用一条曲线来指出这些数据点的正确趋势。这条曲线可能只通过一部分数据点， 或根本不通过任何数据点。根据实验或观察所测定的近似的有时是随机的数据来 画出曲线，就属这种情况。一般要用曲线拟合的方法去逼近这些数据点。(3) 在工程中设计曲线轮廊时，有时先给出控制曲线的特征多边形，然后再用参 数曲线去逼近它，这种方法有易于控制曲线趋向的许多优点，在工程实际中用得 很多。Bezier曲线方程，就是其中常见的一种方法。二 Bezier 知识概论2.1Bezier 曲线2.1.1Bez
7、ier 曲线的定义和性质Bezier 曲线的定义在空间给定n+1个控制点，其位置矢量表示为Pi (i = 0, 1,)。可以逼近生成如下的n次Bezier曲线：)二工 W) f e 0.1!=0其中，匸用()称为伯恩斯坦(Bernstein)基函数，它的多项式表示为：(0 = (I - ty- =t (I - OB-2 f E 01依次用直线段连接相邻的两个控制点Pi，Pi+l, (i = 0,1,n - 1),便得到 一条n边的折线P0P1P2Pn，将这样一条n边的折线称为Bezier控制多边形(或 特征多边形)，简称为Bezier多边形。Bezier曲线和它的控制多边形十分逼近，通常认为控
8、制多边形是对Bezier 曲线的大致勾画，因此在设计中可以通过调整控制多边形的形状来控制Bezier 曲线的形状。1.一次 Bezier 曲线(n=1)一次多项式，有两个控制点，其矩阵表示为：显然，它是一条以P0为起点、以P1为终点的直线段。2.二次 Bezier 曲线（n=2）二次多项式，有三个控制点，其矩阵表示为：-2-220100L_显然，它是一条以p0为起点、以p2为终点的抛物线。3.三次 Bezier 曲线（ n=3）三次多项式，有四个控制点，其矩阵表示为：3P二工尸毘3（）=乙比O + E垃3+ 电3+尸3坷3（）：=0r-i 3 -3 r3-630P-3300Pl10 0 0几2
9、.1.2Bernstein 基函数的性质1. 正性B5= (1 仪宇迟“(曲)5(1 u)4u(a) = 10(1 m)jh- 吞峠 = 10(1 )z3 ZJ5,-(W) 5(1 u)u /升u(M)况0Bn)o(O)= B“(1 円2.权性(规范性)Bernstein 多项式之和恒等于 1，表示为3对称性4最大值Bn)o(D= Bn,n(0)=0 0BnO(U)T Bn,n(U)13参数滋丄吕时,氏3达到最大值.5递推性E机3 = (1 一聲)&_2赵)一邸民f I儿i = 山用6.导函数凤融)w；泌应心瓯曲购耳七(肚” “ =o J二艸2.2.3Bezier 曲线的性质1. 端点性质t=
10、时礼卩(0)=丈叽(0)=兀民乂 0) + 兀从。(0) + .+ KBs(O)t=i时仆戸(1)=艺卩必川)i =0二 Vo5n,o(l) + V lnjQ) + + VnBn, n(l)=E切矢量._一_一一一也P (0) = (71 - Ko)F(y)= n(yn-vn-x)Bezier曲线和特征多边形的首边，末边相切，模长分别等于首，末边长的n倍。 n 为 Bezier 曲线的幂次二阶导失P (0)二幷(幷1)(02 V1) - (几)尸二；7( 1)(%_2氏-1) (%-1 %)Bezier曲线在起点和终点处的二阶导数取决于与端点最靠近的两段折线段或最 靠近的 3 个控制顶点。2.
11、 对称性 可以从首点开始构造曲线也可以从末点开始构造曲线，虽然参数化方向相反，但 形状相同。3. 凸包性由于Bernstein基函数的正性和权性，曲线上任一点的位置是控制点位置的加权 和，在几何上曲线上各点落在顶点构成的凸包内，不会发生震荡。4. 几何不变性Bezier曲线的形状仅与控制多边形各顶点的相对位置有关，而与坐标系的 选择无关。2.1.4 Bezier曲线的几何作图法及其应用斤=（1_况）匕+叫匸i = 0 丄冷 1上式中上标 1 表示第一次分割，第一次分 4 割得到 n 个分割点，由此组成新的多 变形，其边数为 n-1.根据相同的过程分割n-1次后，仅剩两个顶点IZJL对1厂厂再分
12、割-次就得到点该点为Bezier曲线上跟参数u相对应的点,为曲线在处的切线。2.2Bezier 曲线算法2.2.1Bezier曲线的递归分割算法J f v：（仍=a +汐硏：也）=Vi 0,1, , 7：F1V,V,V?VVII0V?分劃过程% 旳 V1V V| W觀 V!vi递归分割三角形2.3Bezier 曲线的拼接曲线连接处若仅要求一阶和二阶连续性，则可以用图解法求得其中：pg)= 耳3匕，wej 0Q3 = 久曲)Q门 mg两曲线应满足一阶连续性要求：曲线P(u)在末端Pm处的一阶导矢：JLUk_PZ (1)= m (F嵇P”由此，我们可知两曲线拼接时，要达到一阶连续， 则顶点Pm 1
13、 Pm(=Q0)与Q1必须共线两曲线应满足二阶连续性要求：分别计算P(u)与Q(w)在拼接处的二阶导失：pk：严(1)= m3 一 1)(1 - F”)-(現 j PQ)hJ71(7=Q(0=讥崔1 1)(Q亠 2Qi + Qo)二者应满足的关系：JkJ1 Q(0) = “P覽 1两曲线应满足曲率连续性要求时：)Qr(0) X Q(0) | _ P71) X P | moTp = iFoTp两曲线拼接并满足曲率连续性要求时的必要条件：综上，得：nr其表示的几何意义：Pm-2, Pm-1, Pm(=Q0)，Q1和Q2五者共面 2.3.1Bezier 曲线的升阶与降阶升阶公式20u现二次Bfokr
14、曲线匕戸2升阶Burner曲线为创加以说i儿XIfc Btzier曲线怖农达式为1 - 2 H V/OJ升阶后曲线的三次表达式有理 Bezier 曲线專次有理Bezier曲线的嶺达式为， Loal &）瞅.Xiti_1_L_m: 二次有理Bezier曲线用二次有理 Bezier 曲线表示圆弧2.4Bezier 曲线中的等周问题2.4.1等周问题的概述两曲线在它们的周长相等时称为等周。在给定长为L的曲线中，求所围面积为最 大曲线，这就是经典的等周问题，也称为特殊等周问题，这个问题的答案为圆周。 很多学者对这个问题给出了不同的解法和证明。2.4.2 等周问题的一些总结封闭Bezielr曲线中的等周问题研究了在该曲线周长和次数给定的情况下，求其 所围区域的最大面积并返回其控制点，然后绘制出该极值曲线，通过拉格朗日函 数求条件极值的知识
