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1、理工大学暑期数学建模强化训练专题三工厂生产计划模型学员：曹阳许佳利倪迪杭学院：通信工程学院时间： 2010.08.18工厂生产计划模型摘要本文根据问题的条件和要求，综合考虑工厂获得最大收益所需的各种条件，建立了单目标线性规划模型， 并通过 LINGO软件的求解，给工厂生产提供了可行有效的生产计划。对于问题一，针对每月都有不同的机床需要停工维修，且不同的产品所需的机床工作时间、 市场的容量以及市场价格都有所不同的条件，采用线性规划结合矩阵的方法，对工厂生产进行了模拟，并得到了获得最大收益时的可行方案。对于问题二，将市场价格的某种变化和引入新机床分开考虑。研究市场价格的变化时，将新的产品收益矩阵
2、P 替代产品的原始收益矩阵 P 即可得到获得最大收益的可行方案； 研究引入新机床时， 本文采用逆向思维分析确定引入何种新机床使得收益最大，并给出了收益最大时的生产方案。对于问题三，建立了一个维修矩阵 Y ，表示各月所要维修的机床及数量，通过综合考虑各月获得最大收益的条件， 运用线性规划的思想在问题一的模型的基础上求出了最佳维修方案，进而确定了最佳生产计划，使得总收益最大。关键词 :单目标线性规划，矩阵，生产计划，额外奖励，影响力一、问题的提出某厂拥有 4 台磨床、 2 台立式钻床、 3 台卧式钻床、 1 台镗床和 1 台刨床，用以生产 7 种产品，记作 P1 至 P7 。工厂收益规定为产品售价
3、减去原材料费用之剩余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表：产品P1P2P3P4P5P6P7收益106841193磨床0.50.7000.30.20.5立式钻床0.10.200.300.60卧式钻床0.200.80000.6镗床0.050.0300.070.100.08刨床000.100.0500.05本月（一月）和随后的5 个月中，下列机床停工维修：一月二月三月四月五月六月卧式钻床 2立式钻床 1磨床 1台卧式钻床 1磨床 1台台台镗床1台台立式钻床 1台刨床 1台各种产品各月份的市场容量如下表：产品P1P2P3P4P5P6P7一月500100030030080020
4、0100二月6005002000400300150三月30060000500400100四月2003004005002000100五月010050010010003000六月500500100300110050060每种产品存货最多可到100 件，存费为每件每月0.5 元。现无存货，要求到 6月底每种产品有存货 50 件。工厂每周工作 6 天，每天 2 班，每班 8 小时。不需要考虑排队等待加工的问题。1、为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的生产？2、研究市场价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。3、若各机床的停工维修时间不作预先规定，而是选择最合适的月份维修。除磨床外，每台机
5、床在这 6 个月中的一个月必须停工维修； 6 个月中 4 台磨床有 2 台需要维修。扩展工厂计划模型， 使得可以对灵活安排机床维修时间作出决策。停工时间的这种灵活性价值如何？二、问题的分析对于问题一，根据题目要求，通过对各月每样产品的生产量进行合理的安排，使得销售总收益能够达到最大。 而收益受到机床的数目、 工作时间以及产品的市场容量和存货量等因素限制， 我们可以运用线性规划的方法建立单目标线性规划模型，结合 LINGO软件求出最优生产计划，从而得到最大收益。对于问题二，题目要求模拟出市场价格变化下或者增加新机床时，应如何调整生产计划以获得最大收益。 我们可以对问题一所得的数据进行分析， 分别
6、研究市场价格变化和机床数量变化对收益的影响。市场价格的变动，实际是改变了单件产品的收益，产品的价格在一个月内的波动一般不大， 假设每个月单件产品收益固定， 那么就可以建立一个新的时间 产品收益矩阵， 将这个矩阵替换问题一的收益矩阵， 即可运用问题一的方法算出最优的生产方案。增加新机床，一方面会使得工厂产品的生产量增加，但另一方面又使得工厂的生产成本（新机床的成本）增加，从而影响收益。我们可以逆向思维，在问题一的模型的基础上， 逐一增加各种机床， 从而可以得到逐一增加各种机床的最大收益，通过判断增加的收益与机床成本的关系来确定增加何种机床使得工厂的总收益最大。对于问题三，问题三较问题一来说机床停
7、工维修时间的自由度变大了， 这使得工厂能够更好的根据市场需求来协调各产品每月的生产及存储计划， 以达到最大收益。建立一个 6 5 的维修矩阵， 代表各月需要维修的各种机床的数量， 然后建立一个 6 5 的表示机床数量的矩阵， 在解出最优维修矩阵后将后者减去前者便可以得到各个月参加生产的机床的数量， 进而运用问题一的方法即可求出此时的最优生产方案。三、问题的假设1、假设每月只有四周，即每月都只有二十四个工作日；2、不停工维修的机床在工作时间内可以同时工作，即不需要考虑排队等待加工；3、产品的市场容量不受产品价格和机床数量等因素变化影响；4、市场价格的改变不影响产品的成本，即产品成本是固定不变的；
8、5、认为新增加的机床的性能较好，在这6 个月内不需要维修。四、模型的建立及求解1、符号说明xij (i1,2,L,6, j 1,2,L ,7)第 i 个月生产 Pj 产品的件数aki ( k1,2,L,5)第 i 个月正常使用第 k 种机床的台数（ k1,2,L ,5 分别表示磨床、立式钻床、卧式钻床、镗床和刨床）tkj单件 Pj 产品需由第 k 种机床加工的时间t工厂每个月的工作时间pj单件 Pj 产品的收益（ profit ）cij第 i 个月 Pj 产品的市场容量（ capacity）sij第 i 个月 Pj 产品的存货量（ stock ）nij第 i 个月 Pj 产品的销售量Zs6个月
9、产品的总存费Z p6个月产品的总毛收益Z6个月产品的总纯收益erk第 r 次增加第 k 种机床得到的额外奖励lrk第 r 次增加第 k 种机床增加的成本f rk第 r 次增加第 k 种机床的影响力yki第 i 个月维修第 k 种机床的台数bki第 i 个月该工厂拥有第 k 种机床的台数2、模型建立21 工厂合理安排各月份各种产品的生产使收益最大的模型2.1.1 模型的分析为了使收益最大， 工厂在总的工作时间内一要尽可能多的生产产品， 而且应该尽可能的生产效益高的产品，但是产品的生产数量还需考虑产品的市场容量；二要尽可能少的存放货物， 来减少存费，但是又必须要有一定量的货存量来满足题意要求。我们
10、可以用单位时间内生产的各种产品所获得的收益的多少来衡量其效益的高低。通过计算，得到 7 种产品的效益如表一所示：表一各种产品的效益表产品P1P2P3P4P5P6P7效益（元 / 小时） 11766.458.8910.8124.4411.252.44按照常理，我们预测按工厂获得最大收益的计划生产产品， 效益较高的产品的收益应该也是较大的。2.1.2 模型的建立与求解根据题目的已知条件，我们可以得到第 i 个月正常使用第 k 种机床的台数的矩阵 A为：3444342 22112A aki 56 313332。110111111110单件 Pj 产品需由第 k 种机床加工的时间 t kj 的矩阵 T
11、 为：0.50.7000.30.20.50.10.200.300.60Ttki 570.200.80000.6。0.050.0300.070.100.08000.100.0500.05单件 Pj 产品的收益 p j 的矩阵 P 为：P p j106841193。17第 i 个月 Pj 产品的市场容量 cij 的矩阵 C 为：50010003003008002001006005002000400300150C cij 67300600005004001002003004005002000。100010050010010003000500500100300110050060第 i 个月 Pj 产品
12、的存货量满足以下关系式：0sij100 （即每月每种产品存货最多可到 100 件），且 s6 j 50( j 1,2,L ,7) （即到 6月底每种产品都有存货50 件）。从而我们可以推出，第 i 个月 Pj 产品的销售量 nij 为 nsxs ，且需iji 1 jijij满足第 i 个月 Pj 产品的销售量不能超过第 i 个月 Pj 产品的市场容量，即 nij cij 。设工厂每个月的工作时间为t ，则单种机床在第 i 个月的工作时间需满足关系式 tkj xijaki t0 ，即每个月各种机床生产每一种产品的所花的时间不应超过该月该机床的总工作时间。6 个月产品的总存费Zs 为：76Zs0.5sij
