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1、4.2指数函数一、指数函数的定义一般地，函数y=M a 0,且存 1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考 为什么底数应满足a0 且在1?二、两类指数模型1.y=kax（kQ,a 0 且存D，当年L时为指数增长型函数模型.2.y=kak0,。0 且存1）,当0 。0al图象俨 y=axXo 性质定义域R值域(0,+o o)过定点过定点（0,1）,即x=Q _ 时，y=l函数值的变化当 x 0 时，0 y 0 时，yl当 x 0 时，0 y l；当 x l单调性在 R上是增函数在 R上是减函数对称性与,二3，的图象关于y轴对称思考1 在平面直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几
2、象限?思考2 指数函数y=*a 0 且存1)的图象，升”“降”主要取决于什么？四、比较嘉的大小一般地，比较哥大小的方法有对于同底数不同指数的两个哥的大小，利用指数函数的单调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个哥的大小，利用回函数的单调性来判断.(3)对于底数不同指数也不同的两个哥的大小，则通过中间值来判断.五、解指数方程、不等式简单指数不等式的解法 形 如 屋 的 不 等 式，可借助y=ax的单调性求解.(2)形如加x)b的不等式，可将6化为以。为底数的指数募的形式,再借助的单调性求解.(3)形如疗 的不等式，可借助两函数丁=，y=的图象求解.六、指数型函数的单调性一般地，有形如y=/)
3、(a 0,且存1)函数的性质(1)函数丁=l时，函数产内)与y=*x)具有相同的单调性;当0tz0,且存1）的单调性取决于哪个量?思考2 如何判断形如y=A 凝）（。0,存1）的函数的单调性？考点一指数函数的判断【例1】(2019河南中原.郑州一中高一开学考试涵数於)=伍2-3。+3)方是指数函数，则。的值为()A.1 B.3 C.2 D.1 或 3【练1】(2019南昌市新建一中高一月考)下列函数中，指数函数的个数为(y=尸a*(a 0且a w l)；尸产；,=-1A.0 B.1C.3 D.4考点二定义域和值域【例2】(2020.全国高一课时练习)求下列函数的定义域和值域；(1)丁 =2向；
4、(2)J =V12?；(3)y=26.【练2】(2020.沙坪坝.重庆八中高一期末)已知实数a 0且a w l,若函数6-x,x2A.(1,2)B.(2,+s)C.(0,1)0(1,2 D.2,+s)考点三指数函数性质【例 3】（2019浙江南湖 嘉兴一中高一月考涵数y=(I)x+2,x为增函数的区间是()A.-1,+0,且aw l）的图象过定点尸，则尸点的坐标为（）A.（1,5）B.（1,4）C.（0,5）D.（0,4）【练 4】（2020.全国高一课时练习）已知函数/（X）=4+/M的图象经过定点P,则点P的坐标是（）A.(-1,5)B.(-1,4)C.(0,4)D.(4,0)考点五图像【
5、例 5】（2019浙江高一期中）函数与丁=优，其中a 0,且a w l,它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）【练5】（2019辛集市第二中学高二期中）已知。1,则函数产炉与产（。-1）好在同一坐标系中的图象可能是（）课后练习1.（2016 新课 标HI卷文）已知a=2；b=3；c-5；则（)A.bacC.bcaB.abcD.ca 0,且a0 1）恒过定 点（）A.（1,-1）B.（1,1）C.（0,1）D.（0,-1）3.（2 0 1 9 高一上 兴庆期中）设 a =2.1。3 ,b=0.32 1,c =l o g2.10.3 ,则a ,b,c的大小关系是（）A.a c 3.c b a
6、C.c a b D.b c c =2log62 则a,b,c的大小关系是（）A.a b c c a bC.c b a D.b c 0且a r l）的图象恒过的点的坐标是.6.（2 0 2 0高一上青铜峡月考）若函数/（%）=a2x-3+1 （其 中a 0且a W1）,则/（%）的 图 像 恒 过 定 点.7.（2 0 2 0高一上上海期中）若函数y =（a 2 -1尸是减函数，则a的取值范围.8.(2020高一上湖州期中)全民拒酒驾，平安你我他.在我国认定酒后驾车标准的起点是：驾驶人每100毫升血液中的酒精含量不得超过20毫克.一名驾驶员喝酒后，血液中酒精含量迅速上升到6.4,假定在停止喝酒后
7、血液中的酒精含量以每小时50%的速度下降，为了保证交通安全，该驾驶员喝酒后至少过一个小时才可驾车？9.(2019高一上辽源期中)若函数/(%)=(k+3)ax+3-b(a 1)是指数函数(1)求k,b的值；(2)求解不等式 f(2x-7)/(4x-3)10.(2020 高一上东丽期末)已知集合 a=a2oga 1，B-a|(1)a 0 且 a W 1.(1)求a的 值；(2)求函数y=/(%)+1(久2 0)的值域.12.(2020高一上河北期中)已知函数/(%)三的定义域为集合“，函数g(%)=3m2xx2-1的值域为集合B.(1)求集合4、B；(2)若a U B=B,求实数m的取值范围精讲
8、答案思考答案 当。或 时，可能无意义；当。0时，X可以取任何实数；当。=1 时，a*=l（xGR）,无研究价值.因此规定y=o 中。0,且存L思考1答案指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限.思考2答案 指数函数产出（。0 且存1）的图象，升”“降”主要取决于底数。.当。1 时，图象具有上升趋势；当0。1 时，图象具有下降趋势.思考1答案 指数函数丁=或（。0,且存1）的单调性与其底数a 有关，当。1时，yax在定义域上是增函数，当0al时，y=a。在定义域上是减函数.思考2答 案（1）定义法，即“取值一作差一变形一定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；（
9、2）利用复合函数的单调性“同增异减”的规律 例 1【答案】C【解析】因为函数人工）=（层-3。+3）仆是指数函数，故可得/一 34+3=1解得a=1 或 a=2,当a=l 时，不是指数函数，舍去.故选：C.【练 1】【答案】B【解析】由指数函数的定义可判定，只有正确.故选B【例 2】【答案】定义域为凡 值域为(0,+8);(2)(-8,0 ,0,1)；(3)0+8),1,+0).【解析】(1)=2馍的定义域为凡 值域为(0,+8).(2)由1 2*2 0知天,。，故丁=1 -2工 的定义域为(-8，。;由0,1 2工1知0,1-2*1，故y =，l-2 的值域为 0).(3)丁 =26的定义域
10、为0，+8);由6.0知2件.1,故丁 =2占的值域为口，”).【练2】【答案】D6 x,x0且1,若函数X)=x c 的值域为 4,+8),当0 a 2时,f(尤)的值域为(0,a2)，与值域为 4,+()矛盾，所以0 a 1时，对于函数 尤)=6T,%W2,函数的值域为 4,+8).所以只需当*2时值域为 4,+8)的子集即可.即。2“,解得。？2(舍去心-2)综上可知。的取值范围为2+8)故选:D【例3】【答案】C【解析】=，)是减函数，M=F+2 x =(X 1)2+1在(8,1 上递增，在 L”)上递减，Z 、-%2+2%函数y=；的增区间是小”).故选：C.【练3】【答案】4,+8
11、)【解析】本题等价于丁 =2一+盛-3在(-U)上单调递增，对称轴 =-1，所以-得加，4.即实数加的取值范围是 4,+8).例 4【答案】A【解析】因为丁 =相 的图象恒过(0)点，则丁 =优7 的图象恒过(1,1)点，所以/=4+恒过定点P(l,5).故选A.【练 4】【答案】A【解析】当x+l=0,即 =-1 时，ax+l=a=l，为常数，此时/(x)=4+l=5,即点P 的坐标为(一1,5).故选：A.【例 5】【答案】D【解析】因为函数丁 =%+。单调递增，所以排除AC选项；当时，y=x+a 与y 轴交点纵坐标大于1,函数y=优单调递增，B 选项错、口沃；当o a：1,.函数产为增函
12、数，函数y=(a-l)/在(-8,0)上为减函数，在(0,+)上为增函数.故选：A.练习答案1.【答案】A【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数图象与性质的综合应用，募函数的实际应用4 2 2 1 2【解析】解：a=2 3=可，b=3互，c=2 5委 季综上可得：b a 2 =1 ,a 1 ,0 0,32 1 1 ,0 b 1 ,l o g2 0,3 0 ,c 0c b 20 6 1 ,c=2log62=log64 1，所以 cab,故答案为：B.【分析】根据指数函数的单调性与 1 的妙用即可；5.【答案】(2,0)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】解：令x-2=0得x=2,则y=a
13、 x-2 -1=1 -1=0,所以函数y=a x-2-i的图象过定点(2,0),故答案为：(2,0).【分析】由解析式令x-2=0求出x和y的值，可得函数图象过的定点坐标.6.【答案】(|,2)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】令2%-3 =0 ,解 得 =|，/(|)-a +1=2,所 以f(x)的图像恒过定点(,2).故答案为：(|,2)【分析】令2%3 =0 ,求出此时%,y的值，即可得到函数/(%)的图像过定点的坐标。7.【答案】(-V 2,-l)U (1.V 2)【考点】指数函数的图象与性质【解析】因为指数函数y=(a2-1)是减函数，所 以 0-1 1,解得一鱼 x -1 或
14、，所以 a 6(-V 2,-l)U(1,V2).【分析】根据指数函数的性质可知，y=(a?1尸 的 底 数 0 a?1 1)是指数函数.k+3=1,3 b=0 k=2,b=3(2)解：由(1)得/(%)=ax(a 1),则函数/(%)在 R 上单调递增 e f(2x-7)/(4%-3)2%-7 4%-3,解得%-2即不等式解集为 x|x -2；【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，指数函数的单调性与特殊点【解析】（1）根据指数函数的定义列出方程，求解即可；（2）根据指数函数的单调性解不等式即可；1 0.【答案】解：1 a 1 0al 时，a|0a 1 或。a|（y 0 ,即 8 =aa
15、 0）（2）解：CRA=a a 1 0-1所以 CR?l n B =a|j a 0）的图象经过点（2,(2)解：由(1)得/(%)=2 0),因为函数在0,+8)上是减函数，所以当=0时，函数取最大值2,故/(x)e (0,2 ,所以函数 y=/(%)+1 =G)X T+1(%0)e (1,3故函数y=/(%)+1(%0)的值域为(1,3.【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】(1)根据题意，由待定系数法即可得答案；(2)结 合(1)得/(%)=20)，由指数函数性质即可得答案1 2.【答案】(1)解：对于函数/(%)=叵,有=20,即上|工0,V x-l X-l X-1解得 1%W 2 ,B P A=xl x 2.:m-2 x-x2-(%+l)2+m+l m+l,则 0 3m2 xx2 3m+1，则-1 g(%)2 ,即3小+1 3,解 得m 0,因此，实 数m的取值范围是0,+8).【考点】集合的包含关系判断及应用，函数的定义域及其求法，指数函数的单调性与特殊点【解析】根据题意首先求出函数f(x)的定义域，再由已知条件g(%)=3m-2 x-x2 _ 1结合指数函数的性质即可得出1 g(%)3求解出结果即可。
