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1、习 题 一4.P (A B)=1-P (AB)=l-P(4)-P(A-5)=l-0,7-0.3 =0.65.(I)当4 5=A时，尸(4 8)取到最大值为0.6.(2)当A U 5=。时,P(A B)取到最小值为0 3111136.P(AU f l U C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(B C)-P(AC)+P(AB C)=-=4 4 3 1 2 47.p=C C；3 c：3 4 3 /C；28.(I)设4 尸 五个人的生日都在星期日,基本事件总数为7 有利事件仅1 个，故1 1p(Aj)=r=2=五个人生日都不在星期H ,有利事件数为6$,故6-75-567-=P(3)设4
2、=五个人的生1-1 不都在星期II1P(4)=l-P(4|)=l-(-)71 0.(1)P(A)=C C /C；(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P；种，次抽取中有，”次为正品的组合数为C：种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序,从M件正品中取，”件的排列数 有 琮 种,从 件 次 品 中 取 件 的 排 列 数 为 种，故P (A)/iw ip w -t n由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故匕述概率也可写成P(A)？“一-cT可以看出，用第二种方法简便得多.(3)由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为M种，次抽取中有m 次为正品的组合数为C：
3、种，对于固定的种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M 种取法，一,次收得次品，每次都有N-M 种收法，共 有(/V-M)种收法,故 尸(A)=C M(N-M)i /N M此题也可用贝努里概型，共做了重贝努里试验，每次取得正品的概率为，则取得Nm件正品的概率为P(4)=C：1 2.设A=发生一个部件强度太弱)P(A)=C j o C j/C j o1i 9 6 0以设但恰显 然 山 互 斥，(年上,-C；3 5=|b345故2 2P(&U 4)=P(4)+P(A3)=天1 4.设4=（第i批种子中的一粒发芽），（i=l，2）(1)P(A1 4)=P(4)P(4)=0.7 x
4、 0.8 =0.5 6 P(A U A2)=0.7 +0.8 -0.7 X 0.8 =0.9 4(3)P(A)2 u A X)=0.8 X 0.3 +0.2 X 0.7 =0.3 8Pi=C这吗）彳得叱)少:P L 7251 6.设 A=甲进 i 球,j=0,123,8尸 乙进 i 球,i=0,123,则 P(U 4吗)=(0 3)3(0.4)3+C；0.7 x(0.3 y C；0.6 x (0.4)2 +1=0C；(0.7)2 X0.3 C；(0.6)2().4+(0.7)3(0.6)3=0.3 2 0 7 617.1 8.设4=下雨,8=下雪.C：C；C；C；C；_ 1 3P q T-(1
5、)W鬻喂=。2(2)p(A U 8)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3 +0.5 0.1 =0.719.设A=（其中一个为女孩），B=至少有一个男孩,样本点总数为2，=8,故尸（8|A）=或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.P 网 A)4P(AB)_ 6/8 _ 6P(A)7 7 s i20.设A=此人是男人）,B=此人是色盲,则由贝叶斯公式尸（A8）=P(AB)二 尸(A)尸(同A)P(B)P(A)P(BA)+P(A)P(BA)0.5 x 0.0 5 2 00.5 x 0.0 5 +0.5 x 0.0 0 2 5 2122.设两人到达时亥-人半_所示.P嚼=；I A50题2 2
6、图62 2.(1)x+y.51 44PlPl1(2).t y=一.42 3.P(8 AU8)=P(AB)P(A)尸(AB)P(AUB)P(A)+P(B)-P(AB)0.7-0.510.7+0.6-0.5 424.设A=第一次取出的3 个球中有i 个新球,i=0,1,2,3.3=（第二次取出的3 球均为新球）33 3 I2 3 3 3 3由全概率公式,有 p(8)=p(8|4)p(4)=k*+*+*k+W k=0.0 8 9i=o 5 5 5 5 J2 5.设A=被调查学生是努力学习的,则 4=被调查学生是不努力学习的）.由题意知P （A）=0.8,P （A）=0.2,又设8=被调查学生考试及格
7、.由题意知P （B I A）=0.9,P（8 lA）=0.9,故由贝叶斯公式知 i)P(司8)=P(AB)P（A）P（B|A）P(B)P(A)P(同 A)+P(A)P(BR)0.2 x 0.10.8x 0.9+0.2x 0.1 =0.0270237即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%（福=P(AB)P(初P(A)P(B A)P(A)P(B A)+P(A)P(B A)0.8 x 0.10.8x 0.1+0.2x 0.94=0.307713即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.2 6.设4=原发信息是川，则=原发信息是8 C=收到信息是川，则=收到信息是可由贝叶斯公式,得
8、产（川C）=P(A)P(C|4)P(A)P(C|A)+P(X)尸(。肉2/3x 0.982/3x 0.98+1/3x 0.01=0.99492127.设A产 箱中原有i 个白球 3=0,12）,由题设条件知产（A）=一/=0,1,2.又设8=（抽出一球为白球.由贝叶斯公式知P（A =3=/A）P（4）。p网耳）尸 =0_ 2/3X 1/3_l/3x l/3+2/3x l/3+l x l/3-328.设/1=（产品确为合格品），B=产品被认为是合格品）由贝叶斯公式得P（A|B）=P(AB)P(8)P(A)P A)P(A)P(8|A)+P(A)P A)0.96x 0.980.96 x 0.98+0
9、.04 x 0.05=0.99829.设4=该客户是“谨慎的”8=该客户是“一般的”,。=（该客户是“冒失的”，。=（该客户在一年内出了事故）则由贝叶斯公式得P(A ID)P(AD)_P(A)P(。I A)_P(D)P(A)P(D I A)+P(B)P(D I B)+P(C)P(D I C)=0.0570.2x 0.05+0.5x 0.15+0.3 x 0.330.设A尸 第 i 道工序出次品 (0.9 即 为（0.8）W 0.1 故 Gil至少必须进行11次独立射击.32.P(A I B)=P(A I B)即A B)=P(丝)亦即 p(AB)P市)=P(A初P(8)P(B)P(B)P(AB)
10、-P(B)=P(A)-P(AB)P(B)因此 P(AB)=P(4)P(B)故A 与8 相互独立.3 3.设4=第i人能破译 (i=12,3),则3.4 2 3p(U A)=i-p(A 4 4)=1-尸(A)尸(4)尸(4)=1 x x =0.695 3 43 4.设A=飞机被击落,8尸 恰有i人击中飞机,i=o ,233由全概率公式，得 P(4)=y P(A I Bi)P(Bj)=(0.4X0.5 X 03+0,6x0,5 X 0.3+0,6X 0,5 X0,7)0.2+(0.4X 0,5 X 0.3-K),4X0.5 X 0.7+0.6 X0.5X/=00.7)0.640.4X 0.5 X
11、0.7=0.458335.1)Pi=Z C：o (0.35)(0.65)1 =0.5138&=010(2)p2=Z C o (025)”(0.75)-*=0.2241k=436.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：(1)4=某指定的 层有两位乘客离开”；(2)8=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；(3)C=怡有两位乘客在同一层离开”；(4)。=至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为1。6种.C294(1)P(A)=,也可由6重贝努里模型：106尸=脸.(2)6个人在十层中任意六层离开，故(
12、3)由于没有规定在哪层离开，故可在十层中的任层离开、有C；()种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有C；种离开方式淇余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C；C：C；种可能结果：4人同时离开，有C；种可能结果；4个人都不在同一层离开，有 段 种可能结果，故P(C)=C；C；(C；C：C；+C；+P；)/106(4)D=6.故p6P(D)=1-P(B)=1-*10637.个朋友随机地围绕圆桌而坐，求 卜.列事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率;(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（
13、3）如果个人并排坐在长桌的一边，求卜述事件的概率.1【解】(1)二-n-Pi=3!(3)!(一 1)!，（一 1）!1 ,3!（2）!Pl=-=-；P2=-；，2 3n n n3 8.将线段 0,a 任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为x,y,a-A y.则基本事件集为由0 xa,0 y f l,0a-x-y a-x-yy+（a-x-y）x构成的图形，即八 a0 x 20 y 2ax+y PA(B U C)=P(AB U AC)=尸(AB)+P(AC)-P(ABC)P(AB)+P(AC)-P(BC)4 2.将 3 个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分
14、别为I,2,3的概率.【解】设 A j=(杯中球的最大个数为i ,i=l,2,3.将 3 个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有4,种，杯中球的最大个数为1 时，每个杯中最多放一球，故尸(4)=祟C331=(34 O而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故C1 1P(A)二号=一3 43 163 1 9因此 P(A2)=1-P(A)-P(A3)=1-=8 16 16C：C：C；9或 P(A)=?=43 164 3 .将一枚均匀硬而掷2H次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2次硬币，可能出现：4=(正面次数多于反面次数,8=正而次数少于反面次数)，。=(正面次数等于反而次数,
15、4,B,C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故产(A)=P(8),所以由2重贝努里试验中正面出现次的概率为pyg吗)“故 P(A)f C,5 4 4 .掷次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.解】设4=出现正面次数多于反面次数,展 出现反面次数多于正面次数)，由对称性知P(A)=P(B)(1)当 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P(A)+P(8)=1得 尸(A)=P(B)=0.5(2)当为偶数时，由上题知p(/i)=|i-4(1 r4 5 .设甲掷均匀硬币+1次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲，尸甲掷出的正面次数，甲5 甲掷出的反面次数.乙片
16、乙掷出的正面次数，乙&=乙掷出的反面次数.显然有(甲=(甲n W 乙止)=(+甲反W”-乙五)(甲或21+乙&)=(甲 反 乙 反)由对称性知P(甲正 乙Q =P(甲反 乙G1因此尸(甲止 乙#)=一246.证明“确定的原则”(S u r l h i n g)：若 P(A IC)2尸(B IC),P(A I C)2P(B l C),则尸(4)2P(B).【证】由尸(X IC)2 P(81。,得P(AC)P(BC)P(C)P(C)9即有 P(AC)P(BC)同理由 P(AIC)P(BIC1得 P(A1)P(BC故 P(A)=P(4C)+P(AC)P(BC)+P(BC)=P(B)4 7.一列火车共有节车闹，有A(k 2)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A产 第i节车照是空的,(i=l,则p(A)=-=(i-/n nP(A/y.)=(l-j/尸气&勺)=(?)*其中八2,i”-i是1，2,，中的任个.显然节车厢全空的概率是零，于是5=尸 =()&=c：(y首 几2S?=工 尸(A A)舌(1一?S,i=P(AilA.-A.i)=C：l-,(l-yl$
