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1、二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：（a + b） n = C 0 an + C1 an-1b1 +. + Cran - rbr +. + Cnbn （n G N * ）2、几个基本概念（1）二项展开式：右边的多项式叫做（a + b）n的二项展开式（2）项数：二项展开式中共有n +1项（3）二项式系数：C （r = 0,1,2,n）叫做二项展开式中第r +1项的二项式系数（4）系数：未知数前的常数叫做系数（注意系数不同于二项式系数）（4）通项：展开式的第r +1项，即T 1 = Cwn-rbr （r = 0,1,.,n）3、展开式的特点（1）二项式系数都是组合数，依次为c, C1, C2,
2、 c ,c；（2）指数的特点：a的指数由n T 0 （降幂）。 b的指数由0Tn（升幂）。 a和b的指数和为n。（3）展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数，一般n 24、二项式系数的性质：（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C0 = Cn，Ck = Ck-1 n nn n（2）增减性与最值二项式系数先增后减且在中间取得最大值n当n是偶数时，中间一项取得最大值C2 nn-1n+1当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C2 =C2 nn（3）二项式系数的和：Co + Cl + C 2 +.+ C k +.+ C n = 2n变形式：C
3、l + C2 +.+ Ck +. + Cn = 2n - 1奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a = 1,b = -1，贝 U C 0 - Cl + C 2 - C3+.+（-1）n C n = （1- 1）n = 0从而得到：C0 + C 2 + C 4 + C 2 r +. = C1 + C 3 +.+ C2r+1 +=-X 2 = 2 n-1 n n nnn nn2(4) 奇数项的系数和与偶数项的系数和(注意不是二项式系数和)nnnn012n(x + a) n = Co a 0 xn + Ci axn-1 + C2 a 2 xn - 2 + Cnanx 0
4、= a xn + a x 2 + a x1 + a令x = 1,贝Da + a + a + a . + a = (a + 1)n0123n令 x = -1,则a a + a a +. + a = (a 1)n0123n(a + x)n = C0anx0 + C1 an-1 x + C2an-2x2 + Cna0xn = a + a xi + a x2 + a xn+得,a + a + + a = （a + 1）n +（a-1）n （奇数项的系数和）024 n2-得,a + a + + a = （a + 1）n-（a-1）n （偶数项的系数和）135 n2（5）二项式系数的最大项n如果二项式的幂
5、指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C2取得最大值。n一 . .一 一.一 一. .一.一 一 一. 队. . . . .如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数C2 , C2同时取得最大值。nn（6）系数的最大项求（a + bx） n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为一一 一一一.A A . 一 .A , A , , A，设第r +1项系数最大，应有( r+1r ，从而解出r来。1 2n + 1 A A(7).常用的结论：令a = 1,b = x,(1+ x)n = C0 + C1 x + C2x2 + + Crxr + + Cnxn(n g N*)
6、令 a = 1,b = -x,(1 - x)n = Co - Clx + C2x2 - . + Crxr + . . + (-1)nCe (n g N*)二项式定理的常见题型题型一：利用通项公式求xn的系数；例1、在二项式（日+ &）n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数?解析：由条件知系数等于二项式系数，Cn-2 = 45，即C; = 45，n2 - n - 90 = 0，解得 n = -9（舍去）或n = 10，,1210-r 2由 T = C r (X 4 )10 -r (X 3 ) r = Cr X 4 + 3 r ， r+11010贝。_r + r = 3,解得r
7、= 6 , 43所以含有%3的项是第7项T= C6 X3 = 210X3，系数为210 .6+110一1练习1：求(X2 )9展开式中X9的系数？2 x111解析：T = Cr (X 2)9 - r ( ) r = Cr%18 - 2 r ( ) r% - r = Cr ( ) r%18-3 r，令 18 3r = 9 ,则 r = 3 一一 121故X 9的系数为C 3( )3 =。922题型二：利用通项公式求常数项；例2、求二项式(X2 +=)1。的展开式中的常数项？解析：T = Cr (X2)10-r (-)r = Cr ()r%2，令 20 5 r = 0，得 r = 8， r+110
8、2、X 10 22所以 T = C8 (上)8 =910 2256.、一 .1练习2-1：求二项式(2X-2)6的展开式中的常数项？ 2X解析：T = C r (2 X )6 - r ( 1)r ( ) r = ( 1)r Cr 26-r () r X 6 - 2 r，令 6 2 r = 0，得 r = 3，r+162X62所以 T= (1)3 C 3 = 201练习2-2:若(X2 + 土)的二项展开式中第5项为常数项，则n = X解析：T = C4(X2)n-4()4 = C4X2n 12，令 2n 12 = 0，得 =6 .5 nX n题型三：二项式定理的逆用；例 3、Cl + C2.6
9、 + C3 62 +.+ Cn 6 n1 = .解析：(1 + 6)n = C0 + C 1 - 6 + C2.62+ C3 . 63 + .+ C - 6n 与已知的有一些差距，1/八，八，C1 + C2 6 + C3 , 62 + + Cn , 6n-1 = (C1 , 6 + C2 62 + + Cn 6n) n nnn6 nnn1 /,-1 1 /,、=6 (Co + C 1 - 6 + C 2 - 62 +.+ C 6n - 1) = 6(1+ 6) n - 1 = -(7 n - 1)练习 3： Cl + 3C2 + 9C3 +. + 3n-1 Cn =.解析：设 S = Cl +
10、 3C 2 + 9C 3 +. + 3n-1 C n，贝，3S = C13 + C 232 + C 333 +.+ C n3n = C 0 + C13 + C 232 + C 333 +.+ C n3n - 1 = (1 + 3)n - 1c (1 + 3)n - 14n - 1. S =n 33题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例4、求二项式(JX -衣)9展开式中的有理项？解析：T = Cr (x2)9-r (-x3)r = (- 1)r C r X -，令 7 G Z,( 0 T ArAr+2Cr 4 r Cr-14r-1、C；4r Cr+14r+1化简得到9.4 r 10.4，又.0 r 1
