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1、全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案、单项选择题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）1 .已知2阶行列式aa2m，b1b2n,则b1b2(B)b1b2C1C2a1C1a2C2A. m nB. nmC. mnD.(m n)bb2a1c1a2c2bb2aa2b1b2C1C2m n n m.2 .设 A , B, C 均为 n 阶方阵，AB BA, AC CA ,则 ABC ( D )A. ACBB. CABC. CBAD. BCAABC (AB)C (BA)C B(AC) B(CA) BCA.3 .设A为3阶方阵，B为4阶方阵，且|A| 1, |B|2 ,则行列式
2、|B | A|之值为（A ）A. 8B. 2C. 2D. 8a11a12a13a113a12a131001004.A a21a22a23 , Ba213a22a23 , P030 , Q310 ,则Ba31a32a33a313a32a33001001A.PAB. APC. QAD.AQ(B )|B|A| | 2A| ( 2)3|A|8.a11a12a13100a113a12a13APa21a22a23030a213a22a23B.a31a32a33001a313a32a335.已知A是一个3 4矩阵，下列命题中正确的是（ C ）A.若矢I阵A中所有3阶子式都为0,则秩（A）=2B.若A中存在2
3、阶子式不为0,则秩（A）=2C.若秩（A）=2 ,则A中所有3阶子式都为0D.若秩（A）=2 ,则A中所有2阶子式都不为06 .下列命题中错俣.的是（C ）A.只含有1个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由1个非零向量组成的向量组线性相关D. 2个成比例的向量组成的向量组线性相关7 .已知向量组1, 2, 3线性无关，1, 2, 3,线性相关，则（D ）A.1必能由2,3,线性表出B.2必能由1,3,线性表出C.3必能由1,2,线性表出D.必能由1,2,3线性表出注：1, 2, 3是1, 2, 3,的一个极大无关组.8 .设A为m n矩阵，m n ,则方程组Ax=
4、0只有零解的充分必要条件是 A的秩（D ）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于nAx=0n9 A为可逆矩阵，则与 A必有相同特征值的矩阵为（ A ）T21A. AB. AC. AD. A| E AT| |（ E A）T| | E A|,所以A与AT有相同的特征值.10 .二次型 f（X1,X2,X3） x2 x2 x2 2x1X2 的正惯性指数为（ C ）A. 0B. 1C. 2D. 32222f（X1,X2,X3）（X1 X2）X3 y1y2,正惯性指数为 2.2007 2008二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）2007200820002000782 .200920102
5、0002000910的值为11.行列式2009 201011320-12 .设矩阵A, B，则ATBT13.设 (3, 1,0,2),201011 222T2 0ATB1 020 .0 13 1613 ,则(3,1, 1,4)T ,若向量满足232(9,3, 3,12)T(6, 2,0,4)T(3,5, 3,8)T .14 .设A为n阶可逆矩阵，且| A| 1 ,则| |A 1| n|A1 |15 .设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则 |A| n个方程、n个未知量的Ax=0有非零解，则|A| 0.Xi x9 Xo 016 .齐次线性方程组12
6、3的基础解系所含解向量的个数为 .2x1 x2 3x301 1 111 1A,基础解系所含解向量的个数为n r 3 2 1 .2 1 303 1117 .设n阶可逆矩阵A的一个特征值是3,则矩阵 1A2必有一个特征值为3A有特征值3,则1A2有特征值1( 3)23,1 A2有特征值-333312218.设矩阵A 2x0 的特征值为4,1, 2,则数x 200由1x0 412,得 x2.a1/，2 019.已知A 1/J2 b 0是正交矩阵，则 a b .0011 . 一由第1、2列正父，即匕们的内积 (a b) 0,得a b 0.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21 .计算行
7、列式Dabca2b2c2 的值.3.33a a b b c cabc解：D a2b2c23.33a a b b c c111abc 0 b a c ac -22220 b a c aabcabc a b2.2a bbacaabc.2222baca2.22abc3.33abc11abc(b a)(c a)b a c aabc(b a)(c a)(c b).22.已知矩阵 B (2,1,3), C (1,2,3),求(1) A BTC； (2) A2.22 4 6解：(1) A BTC1 (1,2,3)12 3;33 6 92 (2)注意到 CBT (1,2,3) 113,所以32 4 6 A2
8、(BTC)(BTC) BT(CBT)C 13BTC 13A 13 1 2 3 .3 6 923设向量组1 (2,1,3,1)T , 2 (1,2,0,1)T , 3 ( 1,1, 3,0)T, 4(1,1,1,1) T，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量解： A （1,2,3, 4)一个极大无关组，24解：25其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）解：,向量组的秩为1, 2, 4是21）A12）解矩阵方程AX B 1 ) ( A, E)2) Xa 为何值时，线性方程组A1Bx12 x111312( A, b) 0 22 x2
9、2 x22x23 x3ax33 x342 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出120242(A,b)a 3时，r(A,b) r(A) 3,有惟一解，此时XiX2X3(A,b)a 3时，r(A,b) r(A) 2 n ,有无穷多解，此时1 000 1 3/20 00XiX2X332X3X303/2 ，其中k为任10 026.设矩阵A 003 a的三个特征值分别为1,2,5,求正的常数 a的值及可逆矩阵P,使解：由|A|2(9a1 2)1 2 5,得 a2 4, a 2 .对于1 1 ,解(E A)xXiX2X30X3 ,取 P1X3对于 2 2 ,解(E A)x 0 ：四、27.证:Xi对于证明
10、题设A,A B,X2X3X1 0 , 0P25,A)xX1X2X3P3X3X3(P1, P2, P3)（本题 6分）则P是可逆矩阵,1APB, A B均为n阶正交矩阵，证明（AB) 1A B均为n阶正交阵，则 AT A1,BTB 1,(AB)T(A B) 1 ,所以(A B) 1 (A B)T ATBT全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1 .设3阶方阵A1，2，3）,其中i （ i 1,2,3 ）为A的列向量，若|B| |( 12 2, 2, 3)l6,则 | A| ( C )| A| |( 1, 2, 3)| |(
11、 12 2, 2,3)| 6.A.12B.C. 6D. 122 .计算行列式A.18010B.120C. 120D. 180302030221050321053(2)303 ( 2) 30180 .002000221023233 .若A为3阶方阵且| A 1 | 2 ,则| 2A | ( C )A. -B. 2C. 4D. 821 31|A|2A| 2 |A| 8 - 4.2 24 .设1, 2, 3, 4都是3维向量，则必有(B )A.1，2，3，4线性无关B.1，2，3，4线性相关C1可由2，3，4线性表示D.1不可由2， 3， 4线性表示5 .若A为6阶方阵，齐次方程组 Ax=0基础解系
12、中解向量的个数为2,则r(A) ( C )A. 2B. 3C. 4D. 5由 6 r(A) 2 ,得 r(A) 4.6 .设A、B为同阶方阵，且r(A) r(B)，则(C )A. A与B相似B. | A| |B|C. A与B等价D. A与B合同注：A与B有相同的等价标准形.7 .设A为3阶方阵，其特征值分别为 2,1,0，则| A 2E |( D )A. 0B. 2C. 3D. 24A 2E的特征值分别为4,3,2,所以| A 2E| 4 3 2 24.8 .若A、B相似，则下列说法错误的是(B ) A. A与B等价B. A与B合同C. | A | | B | D. A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的.A.2B. 0
