1有理数的概念

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1、1 有理数的意义【学习目标】1掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量； 2理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想.重点：也有理数的概念及其分类。【要点梳理】知识点一：负数的引入皿i要点诠释：正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小 数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6C 和零下6C等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种 意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪

2、种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把 “前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规 定为负。知识点二：正数和负数的概念要点诠释：孫：(1) 像3、1.5、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比 0 大。(2) 像一3、一1.5、一584等在正数前面加“一”(读作负)号的数，叫做负数。负数比 0 小。(3) 零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。11像+3、+1.5、+ 2、+584等大于0的数，叫做正数；像一3、一1.5、-、一584等在 正数前面加“一”号的数，叫做负数.要点诠释：(1) 一个数前面的“+”“-”是

3、这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.(2) 用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上 升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负.(3) 0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”.1)为了强调，正数前面有时也可以加上“”(读作正)号例如：3、J也可以写作+ 3、+1.5、+L(2)对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“+”号的数是正数，带“一”号 的数是负数。例如：一a 定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数， 若a表示的是正数，则一a是负数；若a表示的是0,则一a仍是0；当a表示负数时，一a就不是负数了（此时一

4、a是正数）。知识点三：有理数的有关概念心i要点诠释：皿i1、有理数：整数和分数统称为有理数注：1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为 1 的数，这时的分数包括 整数。但是本节中的分数不包括分母是1 的分数。（ 2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。（3）“0”既不是正数，也不是负数，但“0”是整数。2、整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、3、0、一1、一2、一3等等。3、分数包括正分数和负分数，例如：、彳二、0.6、一、一 3二、一0.6等等。知识点四：有理数的分类要点诠释：用（1）按整数、分数的关系分

5、类：（2）按正数、负数与0的关系分类:要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1 的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数 但无限不循环小数不是分数，例如 3）通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也 叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a0表明a是正数；a V0表明a是负数；a二0表明a是非负数；a0表明a是非正数。【典型例题】类型一、正数与负数a1. 若把向北走7km记为一7km，则+ 10km表示的含义是().A. 向北走10kmB.向西走10kmC.向东走

6、10kmD.向南走10km【答案】D【解析】“正”和“负”相对，一7km表示向北走7km，则+ 10km表示向南走10 km,所 以答案 D【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就 是负数.反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同 举一反三：【变式 1 】如果以每月生产180个零件为标准，超过的零件数记作正数，不足的零件数记作负数， 那么1月生产160个零件记作个， 2月生产200个零件记作个【答案】20, +20【变式2】(1)如果收入300元记作+300元，那么支出500元用 表示， 0元表示 .(2)若购进5

7、0本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出.(2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】(2011江苏南通)如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为 ( ).A. 20mB.40mC. 20mD. 40m【答案】B2. 体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过 的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3, 1， 0(1) 这8名男生有百分之几达到标准？(2) 他们共做了多少引体向上？【答案与解析 (1)由题意可知：正数或0表示达标，而正

8、数或0的个数共有5个，所以百分率为：Ix 100% = 62.5% ；8答：这8名男生有62.5%达到标准.(2) (7+2) + (7-1) +7+ (7+3) + (7-2) + (7-3) + (7+1) +7=56 (个) 答：他们共做了引体向上56个.【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.类型二、 有理数的分类3. 下面说法中正确的是（）.A 非负数一定是正数B. 有最小的正整数，有最小的正有理数.aC. 一定是负数.D .正整数和正分数统称正有理数.【答案】D【解析】（A不对，因为非负数还包括0； （B）最小的正整数为1,但没有最小的正有理数;（C）不对，当a为负数或0时，则a为

9、正数或0,而不是负数；（D）对【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表 示这个有理数.举一反三：【变式 1 】判断题：（1）0是自然数，也是偶数.（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）【答案】V， x，x，x【变式2】下列四种说法，正确的是（）.（A）所有的正数都是整数（B）不是正数的数一定是负数（C）正有理数包括整数和分数（D）0不是最小的有理数【答案】D4. 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700,7-3.88, 0, 3.141

10、59265,壮，0.23.正整数集合:，负整数集合:整数集合:，正分数集合:，负分数集合:，分数集合:，非负分数集合： ，非正数集合： 答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1， 0， -700；正分数：0.0708， 3.14159265，723负分数：-3.88， 23.分数：0.0708, 3.14159265, 7了，-3.88,非负分数：1, 0.0708, -700, 3.14159265, 0, 0 23 非正数：-700, -3.88, 0, - 解析】有理数负有理数负整数负分数【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察,一一进行填写；二是逐个填写相关的集 合,从给出的

11、数中找出属于这个集合的数.举一反三：2兀门虽22【变式】在数T00, 70. 8, -7, n , -3. 8, 0,亍，7中，不是分数的是;不是小数的是;不是有理数的是.【答案】-100, -7, n , 0, ； -100, -7, 0； n , .类型三、探索规律5. 某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1 组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第 n组应该有种子粒.【答案】2n +1【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，由此我们观 察到的粒数与组数之间有一定关系：3 = 2 x 1 + 1

12、 , 5 2 X 2 + 1 , 7 2 X 3 +1 , 9 2 x 4 +1，按此规律，第n组应该有种子数（2n +1 ）粒.【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.举一反三：【变式1】有一组数列：2, -3, 2, -3, 2, -3,，根据这个规律，那么第2010个数是：【答案】-311111【变式2】观察下列有规律的数：了,三，,根据其规律可知第9个数是：2 6 12 20 301【答案】901有理数的意义【巩固练习】一、选择题1. 下列说法中，正确的是 ()A. 正整数和正分数统称正有理数B. 正整数和负整数统称整数C. 正整数、正分数、负整数、负分数统

13、称有理数D. 零不是整数2. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( )A. 0 是整数B. 0 是偶数C. 0 是正整数D. 0 既不是正数也不是负数3. 如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ()A. 前进-18米的意义是后退18米B. 收入-4万元的意义是减少4万元C. 盈利的相反意义是亏损D. 公元-300年的意义是公元后300年4. 一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ()A.甲站的东边70千米处B.甲站的西边20千米处C.甲站的东边30千米处D.甲站的西边30千米处5. 在有理数中，下面说法正确的是()A. 身

14、高增长1.2cm和体重减轻1.2kg是一对具有相反意义的量B. 有最大的数C. 没有最小的数，也没有最大的数D. 以上答案都不对6. (2011 宁波市)下列各数是正整数的是( )A.-1B. 2C. 0. 5D.,2 二、填空题1. 某班学生平均体重为43.5千克，小民体重为45 千克，若他的体重记作+1.5，则体重36千克的小华体重记作千克.2. 在数0-5, - 2- , 100 , 0 , 1-| -45 , O.i中，非负数是；非正数是.3. 把公元2008年记作+2008,那么-2008年表示.4. 既不是正数，也不是负数的有理数 .5. 是正数而不是整数的有理数是.6. 是整数而不是正数的有理数是.7. 既不是整数，也不是正数的有理数 .8. 种零件的长度在图纸上是(10 +0.03 )毫米，表示这种零件的标准尺寸是毫-0.02米，加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米.三、解答题1说出下列语句的实际意义.(4)上升-2m(5)向南走-7m(1)输出-12t(2)运进-5t(3)浪费-14兀2把下列各数分别填在相应的大括号里：+9，-1，+3，-23, ,1-32，-15,4，1-7正有理数集合：，负有理数集合：3. 甲地海拔高度是40m，乙地海拔高