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1、常用离散型随机变量的分布函数一、离散型随机变量：(1) 概念：设X是一个随机变量，如果X的取值是有限个或者无穷可列个，则称X为离散型随机变量。其相应的概率P(X =七)=P. (i = 1、2 )称为X的概率分布或分布列，表格表示形式如下:Xx .xxx ,PP 1p 2p 3p ,(2)性质： P. 0 站 p = 1 分布函数 f( x)= Z p PX = x = F(x )- F(x )iii = 1x i x二、连续型随机变量： (1)概念：如果对于随机变量的分布函数F(x)，存在非负的函数f (x)，使得对于任意实数x，均有:xF(x)=f (x)火则称X为连续型随机变量，f (x
2、)称为概率密度函数或者密度函数。-8(2)连续型随机变量的密度函数的性质：f (x) 0j f (x)dx = 1-8 Pa X b = F(b) - F(a) = T f (x)dx若 f (x)在 x 点连续，则 F(x) = f (x)-8三、连续型随机变量和离散型随机变量的区别：(1)由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是(-8, +8)，对于任何X，PX = x = F(x )-F(x -) 0 ； 000而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。(2) 概率密度f (x) 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布P,不仅非负，而且一
3、定不大于1.(3) 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X取任何给定值的概率都为0.(4) 对任意两个实数a b，连续型随机变量X在a与b之间取值的概率与区间端点无关，即：P a X b = P a X b=P a X b = P a X b即：PX b = PX b = F(x)=F (b) F (a)j f (x) dx二L：只取0、1两个值的随机变量，称为0-1分布，I:;它用来描述只有两种对立的结果(成功与失L二T.S败、合格与不合格、击中目标与击中目标、时I nT:;间A出现与不出现)的伯努利实验。a四、常用的离散型随机变量的分布函数：(1)0-1分布：如果离散型随机变量X的概率
4、分布为:P X = k = pkq 1-k(K=0、1)(0 p 1) q = (1 p)称 X 服从参数为 p 的 0-1 分布。(2)二项分布:如果离散型随机变量X的概率分布为：PX = k = Cpkqz (k = 0、i.计)(0 p N2时，去正概率的X值不是从0开始，而是从n N2开始；当n 气时，去正概率的X值最大不是顷是NJ(4)泊松分布(Poisson)如果随机变量X的概率分布为：PX = k = e项(k = O、1 n)k!则称随机变量X服从参数为人的泊松分布，简记为X P(X)总结：在离散型的几个常用分布中，二项分布与其他几个分布关系最为密切：参数为p的0-1分布，就是
5、参数为n、p的二项分布B (n, p )当n= 1时的特例;五、常用连续型随机变量的分布函数(1)均匀分布：若连续型随机变量X的概率密度为: x b 其他广1 a/ ( X ) = b a、- 0则称X服从区间a,b上的均匀分布，其分布函数为:XaaXb在a,b上服从均匀分布的随机变量X在a,b内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度，而与d 一 c 其在a,b内的位置无关。即：若c,d e a,b，则：Pc X 0，简记为：X N(Rq 2)B.特别地，当r= 0、。=1时，称X服从标准正态分布，记作XN(0,1)，其概率密度为:1 -平(x = 2 e 2其分布函数用中(x)表示。C
6、.标准正态分布XN(0,1)的分布函数中(x)与概率密度中(x)的性质。(1)中(x) *(x)即中(x)是一个偶函数。(2) lim中(x) = 0即x轴是中(x)的水平渐近线。(3) 分布函数F(x) = 0(-)；概率密度f (x) = 1中(二)。bb b(4) 若 X N(0,1)，当 c0 时，PX|c = 20(c) 1X若随机变量X服从正态分布XN(R,b 2)，则、服从标准正态分布壬凹N(0,1)，且N(0,1)X如果XN(R,b2)，当a丰0时，aX + 8服从正态分布N(aR + b,a2b2)。特别地，如果a=1,则X + b N(R+b,b 2)X如果 X N(R ,
7、b 2) X N(R ,b 2),且 X、X 相互独立，则aX + a X N(a R + a R ,a2b2 + a 2b 2) 11122212112211221122六、随机变量的函数分布的求法设X是一个随机变量，y = g(x)是一个实函数，则Y = g(X)也是一个随机变量，所谓求随机变量的函数分布问题，就是已知X的分布及函数y = g(x)，求随机变量Y = g(X)的概率分布或者概率密度乃至分布函数。(1) 离散型随机变量的函数分布的求法：如果随机变量的函数Y = g(X)是离散型(无论X是不是离散型的) 的，求Y的分布只要逐点分析出Y的全部可能取值及取各可能值的相应概率即可。(
8、2) 连续型函数的分布的求法1. 分布函数法：如果随机变量的函数Y = g(X)是连续型的，最基本的方法是分布函数法，即先求出Y的分 布函数F( y) = P( g (x) y) = j f (x)dx，然后通过分布函数求出Y的概率密度，其中f (x)是随机变量X的 g(x)y概率密度。2. 公式法：如果X是连续型的随机变量，y = g(x)是x的单调可到函数，其导数不为0,则Y的概率密h(y)|/ h(y) y G z(g)度/ (y)可直接由X的密、度/ (y)求出：f (y) =/其中X = h(y)是函数y = g(x)yxy0其他的反函数，Z(g)是y = g(x)的值域。七、方法总结：确定分布中位置参数的解题方法是建立所求参数为未知量的方程或者方程组，从中解出所求参数，建立分布中未知参数方程的主要方法有：(1) 分布函数F(x)性质、离散型分布律性质、连续型概率密度f (x)性质。i(2) F(8) = 0、F(+8) =1、F(x) = F(x+)。(3) 在F(x)的连续点，F(x 0) = F(x) = F(x + 0)(4) 乎 p =1、0 p 0 o8(6) 特殊分布函数。
