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1、第 零 章 教 学 准 备一泰勒展开式1二项式的展开f(x)=(l +x=l +m x+皿蛇皿西 Y+2 一般函数的展开f(x)=f(X o)+(x-X o)+(X-X o)2+(X-X o)3+特别：X=O 时，f(x)=f(o)+*x+粤/+粤/+3二元函数的展开(x=y=O 处)f(x,y)=f(O)+图唱+侏 卜+2叙xy+部 小.评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。二帝微台方程1 一阶非齐次常微分方程：y+%y=Q(x)通解:y=”R c+j Q(x)e W 旬注：P(x)d x,j Q(xp*%x积分
2、时不带任意常数，Q 可为常数。2 一个特殊二阶微分方程y -A2y+B通解：y=K c os(A x+4)+捺注：K,4为由初始条件决定的常量3二阶非齐次常微分方程y+y+by=f(x)通解：y=y+y*;y为对应齐次方程的特解，为非齐次方程的一个特解。非齐次方程的一个特解(1)对应齐次方程了 +夕 +by=0设y=e，得特征方程/l 2+a/l +b =0。解出特解为4，4。*若4 力4 e R 贝U y=e 5 ,y2=；y=c,e/ix*若4 =4 e R 则y1=e*,y2=xe2|X；y=e,x(c1+xc2)*若九=a i 则 Y i =y c os/3x,y2=ea x si n
3、/?x；y=ea x(c1 c os/7 x+c2 si n/?x)(2)若%=a()x2+b()x+C o为二次多项式*b W 0 时，可设y*=A x?+B x+C*b w O 时，可设 y*=A x+B x2+C x+D注：以上q,C 2，A,B,C,D均为常数，由初始条件决定。三次量1矢量的标积A B=B A=|A|B|c os=AXBX+AyBy+AzBz注：常用于一矢量在一方向上的投影2矢量的矢积A x B=-(B x A)=|A|B|sin dln=Ax Av AzM B，B j=(AxBy-A2By)i+(AZBX-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k此处仅讨论用矩阵判断方程
4、组解的分布情形Oal lxI+a1 2x2+aI 3x3=0,a21Xl+a22X2+a23X3=0a3 1xl+a3 2x2+a3 3x3=Oail a!2 a13令=a21 a22 a23a3l a32 a337*D=0时，方程组有非零解*D*0时，方程只有零解第一章牛顿力学的基本定律方 丈 布 接M地 勤。整个力学大屋的地基将病此破三节羊的人类素密科学葡慧君晶将飘来他的若扑S幽看。此 时 关 量 言 语 将 尽 显 英 雄 本 色，微积今更是凤宪占尽。【要 直今 折 与 总 修】1质点运动的描述（1）直线坐标系亍=x i +y j +z kC =f =xi+y j +z ka=r =xi
5、 +y j +z k(2)平面极坐标系f =r er 5 =r er+r 纭云=(f r加唐+(而+2泊)却(3)自然坐标系i j =u el-_a=L et H-enP(4)柱坐标系9一 一 v _a=L et+enPv-p ep+p fft0+z ez 析)上述矢量顺序分别为：；,，跄，氤；露金 d爸 .力限 x ia矢量微分：号=况k X品=-宠d W -=ekxek=0d t k k(其它各矢量微分与此方法相同)微分时一定要注意矢量顺序2牛顿定律惯性定律的矢量表述m a_ =m-矛-y亍=云 F(1)直角坐标系中F;=m x=r xPI=p2-p.M =f xFa=工 一1 =回 出T
6、1 2T=nw2d t一方向上动量守恒:e,=F ef=0d t(2)动 量 矩 定 理M =d t(3)动能定理 屋=01亚0=虫d t d t4机戒能守恒定理T+V=E 析势函数 V：d V=d x+d y +d z =-F d r6x dy dzE ZS V T av-e v、F =-(1+k)dx dy dzd V d V2稳定平衡下的势函数：3=0；0d x d xx=xo x=x0此时势能处极小处VM E 0质点再平衡点附近振动且能量满足 0 E质点逃逸-8Vm =xi =-i=-且：3B=-C =-(b +d)s i n 6得：0=c(b +d)s i n。又因 M 点位置：xM
7、=b s i n 6,yM=d c o s 故有：uM=xMi +l yMj =b(9 c o s6 i -d(9 si n 6 j代 入(*)式得:b e c o t 3-de Tb+d，-b+dJ即：u -c.7 b2 c o t2(9 +d2b +d_ ,b e raM=%=_ zU ,2/)1=(b +d)si n 0b e2(b +d)2si n2i3 一半径为r的圆盘以匀角速率。沿一直线滚动，如图所示。求圆盘边上任意一点M的速度。和加速度9(以0、M点的连线与铅直线间的夹角。表示)；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。解：设0点 坐 标 为(y R t +x 0,R )。则M点
8、 坐 标 为(c t)Rl+x()+R s i n R +R c o s 0)故：=xMi +yMj =(t y R +R y c o s6l)i-RaM=uM=-R(y2 si n O i -R(y2 c o s0=-R 6 y2(si n 0+c o s9 j)4 一半径为r的圆盘以匀角深度3在一半经为R的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M点的深度u和加速度a(用参量。,中表示)。解：依题知：0 =五=一 旦R -r R-r且 0 点 处:ek=c o s(/9 -(p)er-si n(p-0)sin(6-TCDO-cos(6-)er=ny0cos(。一 夕)6-r690s
9、in(。一 )&一.2=|(r-R)-r cos(6-夕)er+r sin(6-(p)e05已知某质点的运动规律为：y=b t,6=a t,a和b都是非零常数。(1)写处质点轨道的极坐标方程；(2)用极坐标表示出质点的速度。和加速度云。W：(l)y=rsin=bt=得：r=cscera小一二 b asin。一a6cose_ b 夕 一(2 u=r=-；-er+-aea sin_ 0 a sin。=焉 (1一 3夕尼+维6已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是入r和口0,这里U和人是常数。求出质点的加速度矢量限解:由题知：u=2rer+绚且：r 三 A rj。=故：a=d=Arer+Ar0
10、eo+/LL01O-jL/00er二(&一加用+(疝+)庆=（22r-巴匕 R +即入+幺）却r r7质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。证明：设速度为0 =电。m i l _ di?_ v _贝1 J：a=er+en=en出 。由于。与短为正交矢量。即得证。8 一质点沿心脏线=E 1 +3。）以恒定速率v运动，求出质点的速度。和加速度限解：设D =i r+r况 =乐（一si n。后+乐（1 +c o s。）吃且有：/c(-si n )2+/c(l +c o s(9)r 2-u2解得：0=一-2 c o s-K2得：i =dK(-si n e)=-D si n
11、 g,r d=c o s9则：u -t?(-si n-er H-c o s e0).i .o .o i .e .ea-v=8 o c o s 6 r -do si n 金 6v si n e-6v c o s er2 2 2 2 2 23吟-,。-、(-er-t an-e,)9已知质点按r =ea,，=/t运动，分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，经向分量和横向分量。解：（1）极坐标系下：由=6H，=得：t=常 用=且设：i?=r er+则：v-J i?+/町er=fer+r&e=(a2-r 2)ea,er+2 a e%则：径向与横向的分量分别为(。2-力2)*，2a B ec010质 点
12、 以 恒 定 速 率C沿 一 旋 轮 线 运 动，旋 轮 线 方 程 为x =R(9 +si n O),y =-R(l +c o s0)。证明质点在y方向做等加速运动。解：依题意：C2=x2+y2=R2(l +c o s)26 2+R22si n2得：=2 R c o s 2则：ay=y =R(&2 c o sO +dsi n。)2 4n 2_ si_n _si_n2 24 R 2 c i o ds c i u ds c i deF l ：=-2 k =-2 k-=-2 k-=-2 k。dt p 夕dt ds 出 dt而=-2 k d V积分得：o =u e-2 k。(代入%=u)又因为：y2
13、 =2 px在(%,p)点处斜率：12竖直上抛一小球，设空气阻力恒定。证明小球上升的时间比下落返回至原地点的时间短0解：设空气阻力为f,且小球初速为“，质量为没，则有:上升时间：下落时间：t 2上升高度：h2(g +g +用即得证。13质量为m的质点自离地面h高度处下落。若空气阻力与质点速度的平方成正比，比例常数为C,试讨论此质点下落过程中的运动状况。解：设加速度为a,速率为0,则：m a =m g-C t/=m t）得：泼厂d t积分并代入.。时有:s/ma =8 g e 方原 Jg%（l+e 夙尸（1 原）O v=v0 co s6解得：ux=u0 c o s0e k l,uv-(uosi
14、n 0+)e k,-k k当再次夹角为a时：=-t a n a可解出：y 4n（l +弛姐堂）k 81 5 一质量为m的质点用一长度为/的不可伸长的轻绳悬挂于一小环上，小环穿于一固定的水平钢丝上，其质量为3%。开始时，小环静止质点下垂，处于平衡态。今若沿钢丝的水平方向给质点以大小为历 的 初 速 度，证明若轻绳与铅垂线之间的夹角是。时，小环在钢丝上仍不滑动，则钢丝与小环间的摩擦系数至少是几，此时绳中的张力为3=3 m g co s 0 o解：依 g m 4=；?为2-m g/(l-co s 6)得：=2 2 g co s 0则:FT=mu%+m g c o s 0=3m g co s 0/=F
15、-T-3=m g-e-o-s-8-s-i-n-g -s=i n-2-0-2=t a-n-6-r,3 2 n.3 co s2 2 +2 3 +t a n2 0茸 上+万 加g 3 m g e o s O+-m g又因为：如=2(3 +t a n 2 e 2 t a n 2 6)=0d ta n O(3+t a n2 O y得：t a n 0-4 3故：t a n 6 =G即得证。16滑轮上绕有轻绳，绳端与一弹簧的一个端点联结，弹簧的另一端挂一质量为m的质点，如图所示。当滑轮以匀角速率转动时;质点以匀速率/下降。若滑轮突然停止转动，试求弹簧的最大伸长及弹簧中的最大张力。已知弹簧作用力为W时的静止伸
16、长友。解：(注：此题中W=mg)设最大伸长为4,有：女=巡=上4)4)依能量守恒：=呻)2 +Mg(4”-4)解得：4”=4)+%历则：小=心=却+。西)1 7两个相同的轻质弹簧，劲度系数为的自然长度是/。，在它们中间竖直地串接一质量为m的质点。弹簧的另外两端点分别固定于A点和B点，如图所示，A、B间的高度差是3%。设开始时质点静止于A B的中点，求质点的运动规律。17解：质点运动时势能V =-mg x +g k(x-)+g k(-x)=-mg x +kx2+-在平衡时：=-mg +2 kx =0d x得：x=邂2 k且运动时受力满足：F =-=mg -2 kx =mxd x代入初始条件：t =0,x =0,A =Xo1 8两个质量都是m的质点A和质点B用一自然长度为/。的轻质弹簧相连，置于一光滑水平桌面上，如图所示。弹簧的劲度系数为3两质点处于静止状态，弹簧呈自然长度；而后，质点B沿A B方向受到一大小为的恒力作用。分别求处质点A和质点B的运动规律。18解：依受力分析知 IFA-A=122=C-2mga j(cos 2a+sin 2a+.*(其 1 1 1 V=mgz=mga(l+c
