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1、解析几何概念的应用一、第一定义的应用：例1 ：(1)设定点Fx(0,-3),尸2(0,3)，动点P满足|P用+户工|=a a 0),则动点P的轨迹是什么?(2)若一个动点P(x,y)到两定点A (-1,0),B(1,0)的距离之差的绝对值为定值。(47 0),求点P的轨迹。例2：(1)方程/(x+5)2+y2-J(X-5)2+y2=g表示什么曲线？(2)方程7(X+4)2+y2-7(X-4)2+y2=6 表示什么曲线？(3)方程7(+4)2+x2-7(y-4)2+x2=8 表示什么曲线？X2 v2例3：(1)已知椭圆C：+=1(0 m 6 0 )的椭圆上一点，FI、F2是椭圆a b的左右焦点，
2、求证：|PFi|=a+e x()：|PF2|=a-e x0X2 v2(2)若双曲线 -=1(Q 0,/?0 )的左右焦点是F|、F2，P(xo yo)是双曲线上任意一a b点，求 证:|PF1|=|a+e x()|；|PF2|=|a-e x0|(3)若抛物线yZ p x(p 0)的焦点是F,点P(xo,y0)是抛物线上任意一点，求证：|PF|=x0+-2X2 v2例 9：(1)已 知 FP F2是 椭 圆 二+昔 =1(。6 0)的两个焦点，P 是椭圆上任一点，证明：若a bZ F,PF2=WIJSA FIPF；=Z)2tan-;PF|PF2|的最大值是/X2 V2(2)已知双曲线一亍一万=1
3、(。0,6 0)的左右焦点分别为F1、F2,点P 是双曲线上任意一点，0求证：若N片尸K=6,则SAF|P F,QPFi l l PFd的最小值是例10：求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切。例11：过 抛 物 线 产a x2(a 0)的 焦 点F作一条直线 交 抛 物 线 于P、Q两 点，若|PB=m,|QF|=n,则1 1-1-=Om n例12：设抛物线方程为y2=2p x(p 0),过焦点F的弦AB的 倾 斜 角 为 求 证：2p焦点弦长|A B|=Ysin a圆锥曲线定义的深层及综合运用圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程 这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这
4、里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。-、椭圆定义的深层运用2 2x y&0)例1.如 图1,P为椭圆一 段 上一动点，用、玛为其两焦点，从 网 向/用 尸 刃 的外角的平分线作垂线，垂足为M,将F2P的延长线于N,求M的轨迹方程。解析：易知|产瓦|=|FA故|儿弓|=|冲|田产e 1=1尸尸1 出产&1=2在 御 居 凶 中，河口啊”2 2 2则点M的轨迹方程为+丁 。二、双曲线定义的深层运用，一 g =l(a 0,50)例2.如 图2,小 尸2为双曲线a b 的两焦点，P为其上一动点，从瓦 问/鸟 尸 鸟 的 平 分 线 作 垂 线，垂足为M,求M的轨迹方程。解析：不妨设P点在双曲线
5、的右支上,延长F|M交P F2的延长线于N,则|网|=|加=|?玛 卅 为即 囱 削=|抄 卜|尸玛|=2 a网叫中，|0必=!|为加=a在22 2 2故点M的轨迹方程为*+y =a三、抛物线定义的深层运用例 3.如图3,AB为抛物线丁 的一条弦，|AB|=4,F 为其焦点，求 AB的中点M 到直线y=-1的最短距离。12 y 解析：易知抛物线丁二的准线，：4,作 AA”_L/,MM 7,垂足分别为 A、B、M”|W|=则-=-=/2221y =即 M 到直线 4的最短距离为22+2 J故 M 到直线y=-l 的最短距离为 4 4。评注：上述解法中，当且仅当A、B,F 共线，即AB为抛物线的一
6、条焦点弦时，距离才取到最小值。般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当I工切之2P（即通径长）时，才能用上述解法。四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例 4.已知圆X 2+歹 2=4 产（道 0）,M 为圆上任一点，MP的垂直平分线交0M 于 Q,则 Q 的轨迹 为（）则Q 的轨迹为已知圆X+丁 =4，F（J 5（）A.圆 B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：如图4,由垂直平分线的性质，知|QM|=|QP|,而|QM|=|0M|-|0Q|=2一|0Q|即|0Q|+|QP|=2|0P|=酒故Q 的轨迹是以。（0,0）,P（召，）为焦点长轴长为2 的椭圆。应选B。同理，利用垂直平分线的
7、性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5.如图5,已知三点A (-7,0),B (7,0),C (2,-1 2).若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。解析：由椭圆定义知，|A P|+|A C|=|B P|+|B C|,即|28卜|为1=1工q|B C|=2|工 四=1 4故P的轨迹为A (-7,0),B (7,0)为焦点实轴长为2的双曲线的一支，-匕=1(X|A B|=1 4故点Q的轨迹为以A (-7,0)、B (7,0)为焦点长轴长为2 8的椭圆
8、，其方程为1 9 6 1 47 。练习1 .已知椭圆E的离心率为e,左、右焦点为F|、F2)抛物线C以鸟为焦点，瓦为其顶点，若P为两曲线的公共点，且目产居|=|产司，则=。7 3答案：32 .已知0O：X+y=4 ,一动抛物线过A (1,0)、B (1,0)两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F的轨迹方程。2 2-F =1,y-/-0答案：4 3 圆锥曲线中的方法与运算1.(与名师对话第5 1练)已 知 抛 物 线=2 x-l,点力(2,0),问是否存在过点力的直线/,使抛物线上存在不同的两点关于直线/对称，如果存在，求出直线/的斜率左的取值范围；如果不存在，请说明理由.分析：这是个求变
9、量(斜率左)的取值范围问题，我们必须给出与变量(斜率上)相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组)，显然，这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.我们由题设揭示出的几何条件是：抛物线上关于直线/对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点，并且交点为端点的线段的中点在直线/匕 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组).解这个关于式组即可得变量左的取值范围.解：设直线I的方程为歹=%(x 2),若A=0，则结论显然成立，即k=0可取.若左=0,y=x +m.,“k 可得,y?+2 y-2 左b+1 =0.y=2x-l,则直线PQ的方程为丁=-!8+加，由方程组kV直线
10、PQ与抛物线有两个不同的交点,4人2一4(2协+1)0,即 左2-1+2协0.设线段PQ的中点为G（x0,y0）,则y0=一 左:.%-)_|_ k m =-k(-k)+k m =k2 +kni,左2,点 G（XO，K）在直线/上，一 k =k（E +k m-2）,由 左。0可得，m =-kkz-+2 k-k2 0,k 1 (左 w 0),.1 1(人0 或 0%2知,/13,由此可知，我们必须建立点A的横坐标的绝对值关于/I的关系.解：设2（X ,凹），B（x2,y2）,则由 MB =A.M A 可知,。2，%）（1,0）=/1 （/，）一（1,0）,x2-1 =2（X 1 -1）,2=A
11、y,%2 /X 1 2 +1,x；丸x j,丸X _ （4 _ 1）2 x，:4*1,4,2 2 A X|+A,1 0,a e （1 乎,1）u（l,l+孚）.方法（二）（-1）?=J,（4 3）,A0 -,0 （x,-1）2 -,/.%w l 且 1一3 玉 1）u（l +点）.4.（与名师对话第5 1练）已知抛物线的方程为X?=2勿（0）,过 点 四（0,小）且倾斜角冗为。（0。2-9,由可知 X +=2 p k,xlx2=-p2,X=-2X2,由方程组 3+x2=2 p上,可消去再,2M得，丸2 2（2左2+l），+l =0.xx2=-p,:o0,/.A -2 +-r（当且仅当八=r2时
12、,等于号成立）2八 5 一+）4当勺=，即 点M与短轴的端点重合时张角N O GP最大，最大角为9 0 ,这时点M的坐标为（-1,1）、（-1,-1）.方法（二）用椭圆的焦半径公式（X +）2将椭圆二-+;/=1平移到中心在原点的位置，这时椭圆的方程为一 +J?=1,原张角/O G P2 2就 是 在 点P处 的 两 条 焦 半 径 的 夹 角.设 点P的 坐 标 为（知加）,则（/+乎%）2+（应-或/A 一 4 2|Jc os#f-一二 T二 3一T 。%0 2 2（7 2 +XQ）（V I-x0）2（2-x0-）-2 0 2 0 2 /2当/=0时,c o sN F PF=0,当X o?
13、e（0,2 吐 c o s/R P F?e（0,1 ,故c o s/F；%G 0,1 ,NF；P鸟的最大值为9 0 ,这时相应点P的坐标为（0,土 1）,在椭圆的原位置相(2)若已知点D(0,3),点M,N在动点P的轨迹上，且DM=九D N、求 实数4的取值范围；(3)若已知点)(1,1),点A/,N在动点P的轨迹上，且M D =D N,求直线M N的方程.X2 v2分析：由题设可知，动点尸的轨迹是以双曲线彳一j-=1的两个焦点片，片为其焦点的椭圆，因此动点P的轨迹方程可以用待定系数法求得.x2 V2解(1)：由题设可知，动点P的 轨 迹 是 以 双 曲 线 万 一 匚=1的两个焦点片，为 其
14、 焦 点X2”2的椭圆，设其方程为一 7 =1 (6 Z /?0 ).a b可 以 证 明(仿 例6)当 动 点P在 椭 圆 的 短 轴 的 端 点 时 c o s 4 也 的 值 最 小，这 时-2 a 2 2 0 10.10 1 2 c./c o s N K P F)=-；=1 三、1 7 =,Q=9.b=4,2/a2 c r 9,x2 y2/.动点尸的轨迹方程为-F -=1.9 4分析：由 司7 =%而 可 知，点。,共 线，直 线MN的变化可以用其斜率表示(直线的方程为y =kx +3,这时要k作讨论)，也可以用，表示(直线的方程为x =t(y-3)，这时不需要对，作讨论).下面用直线
15、方程y =kx +3求解.解法(一)：由DM=九D N可知，点D,M、N共线.若直线M N的斜率不存在，则25-或1-5-y=A x+3,若直线M N的斜率存在,设直线M N的方程为y =kx +3,则由方程组，4X92+9/7=36,可得，(泌 2+4)x2+54 4 5=0,-5 4 k 4 5设 MX Q)N(X”2),则玉+x2=-5=E.又由 DM=A DN 可得，X =AX2,54左54版 X,=z ,X)=z1(1 +4)9 左 2+4 -(1 +4)9 左 2+4(54 左 /1 _ 4 5(1 +4)2(泌 2+4)2 -泌2+4A 5 9公+4 _ 5.4.(1+7 7-3
16、 2 4 3 2 4,+F v A =(54 A:)2-4 x4 5(9 A：2+4)0,k2.9A_ A_ 13 6(1 +2)2 -4-2 5 R 2 -,5,5 51 ,u综上所述，-2 5.分析：用点A/,N的坐标表示直线M N的变化.解法（二）：由DM=A DN可知，点D,M,N共线.设“（X1/I）,N（X2 则方 +-=1,半 +号=L,:DM=A DN,%）=x2,必=4 2 -3 4+3,万 2（为,_3 4 +3）2 万2万 才.-1-=1,-1-=A.9 4 9 4.（为2 一3 4 +3）2 万 为2二 1 九2 3（2/1%-3 4+3）（1-24 4 4 .=或当 处 出 母=+4,-2 y2=13/1-50解 得,4/1 4 5.4 -6/1 58.抛物线C的方程为 =办2 （0）,过抛物线c上一点尸（X。，%）（/W O）作斜率为原 4 2的两条直线分别交抛物线C于4（阳，乂）,6（X 2,必）两点（尸、4 8三点各不相同）,且满足上2 =0 （X H 0月/-1）.（1）求抛物线c的焦点坐标和准线方程；（2）设直线48上 一点朋满足:两 =4祝7,证明
