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1、第一章行列式一、行列式的概念、展开公式及其性质（一）行列式的概念aa.a11121naa.a21222n.aa.an 1n2nn（二）行列式按行（列）展开公式A = a A + a A +. + a A = a A + a A +. + a Az1 z112 12in in1 j 1 j2 j 2 jnj nj其中 A = （1）i+jMM是|人|中去掉第i行及第j列元素后的n-1阶行列式，称之为a的余子式，而（-1）i+jM为 ai，的代数余子式2.关于副对角线，设A是m阶矩阵，8是n阶矩阵，则1上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积a11*a22a11*a22*=a a ,a*.*1
2、1 22nn*aannnn*aa1n1n*aa*=(-1)n ( n1)2 n-1=2 n- 12 a a a*.*1n 2 n - 1n1aa*其计算公式为n1，n13.两种特殊的拉普拉斯展开式A -18|OAB*B=(-1)gA Bl（三）行列式的性质1.经转置的行列式的值不变，即|A| = AT2. 行列式中某一行各元素如有公因数k，则k可以提到行列式符号外，若行列式某行元素全是零，则行列式的值为零3. 如果行列式中某行的每个原色都是两个的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和a + ab + babab1212=11+22lmlmlm4对换行列中某两行的位置，行列式的值只改变正负号；若
3、两行元素对应相对（成比例），则行列式的值为零 5.把某行的k倍加至另一行，行列式的值不变（四）关于代数余子式的求和1只改变a所在行或列中的元素的值并不影响其代数余子式A ,A与a的取值无关 ij ij ij ij2. 行列式一行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和必为零a A + a A +. + a A = 0i1 j1i 2 j 2in jna A + a A +. + a A = 01 j 1k 2 j 2 knj nk二、有关行列式的几个重要公式1若A是邠介矩阵，则AA| = k|A|2若A, 6是邠介矩阵，则 = |A| B3若A是n阶矩阵，则&= |Ah-1若人是邠
4、介可逆矩阵，则A-1 = AI-1 4.若人是邠阶范德蒙矩阵Xn ，X 2nXn-1n则|a = n (x - x)i j1 j 兀 i nxxA =12X 2x 212Xn-1Xn-1125.若4是n阶矩阵，七是4的特征值，则|A| =甘七i =16若A B，则|A| = |B|三、关于克莱姆法则对于n个方程n个未知数的非齐次线性方程组，如果系行列式D = |A|丰0,则方程组有唯一解=牛丁 D，其叫是把。中的X/的系数换成常数项对于乃个方程个未知数的齐次线性方程组，系数行列式0 = |A|。0,则方程组只有零解对于n个方程个未知数的齐次线性方程组，有非零解，则系数行列灿=|A| = 0逆序
5、数的计算，从左至右，看每个数后面比它小的数的个数经初等变换矩阵的秩不变a11 a21.ija.a.22.a1na2n.称为m x n矩阵，简记A或(a ),若m = naa .am1m2mn2.0矩阵第二章矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵(一)矩阵及相关概念1.矩阵m x n个数1排成的m行n列的表格如果矩阵A中所有元素而都是0,则称为零矩阵，记作03.同型矩阵则称人是阶矩阵或n阶方阵矩阵A = (a ) ,， B = (b )，中如果m = s,n = t,则称A与B是同型矩阵 ij mxnij sxt4. 矩阵相等同型矩阵A = B = % =气(Vi, j),即对应的元素都相等1
6、.方阵的行列式对于方阵A = R)其元素可构造阶行列式aiia21a12a22aina2n由A丰B,得不到AI丰BI(二) 几类特殊方阵1. 单位矩阵主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n阶段方阵，称为n阶单位矩阵，记为 EEA = AE = A; Ao = E2. 对称矩阵设A是n阶矩阵，如At = A,即aa”(Vi, j)3. 反对称矩阵设A是n阶矩阵，如At = -A,即a.= -a,(Vi, j)，a = 0若A, B是同阶的(反)对称矩阵，则A + B, A - B,人A也是(反)对称矩阵，但人8不一定是(反)对称矩阵4. 对角矩阵设A是n阶矩阵，如a, 0(Vi丰j)，对角矩
7、阵记为A同阶的对角矩阵的和差、积仍然是对角矩阵5. 逆矩阵设A是n阶矩阵，如存在n阶矩阵B,使AB = BA = E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵，A的逆矩阵唯记为At6. 正交矩阵设A是n阶矩阵，如AAt = AtA = E,则称A是正交矩阵，A-i = At7. 伴随矩阵设A = (a)是n阶矩阵，则由行列式|A|的各元素。的代数余子式气所构成的n阶矩阵AA. AAA. A1222n2，称为A的伴随矩阵，记为A* A A . Ain2 nnn二、矩阵的运算(一) 矩阵的线性运算1. 矩阵的加法设A = (a ),B = (b )是两个m x n矩阵，则m x n矩阵C = (c ) =
8、 (a + b )称为矩阵A,B的和A + B = C2. 矩阵的数乘设A = (a )是mx n矩阵，化是一个常数，则mx n矩阵(ka ) = (a + b )称为数k与矩阵A的数乘， 记为kA3. 矩阵的乘法设A = (a ),B = (b )是两个nx s矩阵，则mx s矩阵C = (c )其中c = a b + a b +. + a b =E a b ,称为A与B的乘积，记为C = ABiji1 1 ji2 2 ji n njik kjk=1矩阵的乘法一般没有交换律人8。BA,只有A与B可交换即AB = BA时，才能运算 (2)AB = 0, B。0,不能退出A = 0; A2 =
9、A,不能堆出A = E或A = 0; AB = 0,应联想到 B中的每一列都是其次方程人=0的解，若B。0,则齐次方程组有非零解r(A) + r(b) 2)(3)(A*)* = Ag2 A(n 2)(4)(kA)* = kn-1 A*(5)( A* )T = ( At )* (6)r(A*) = n, r(A) = n; r(A*) = 1, r(A) = n -1; r(A*) = 0, r(A)兀 n -1)*, A* = AA-1(7)若A 可逆，则(A* )-1 = 1 A,( A* )-1 = (A-1 A_ AA 一一 BB 一12+12=AABB1- 3434(五)关于分块矩阵的
10、运算法则A + BA3 + B3A2 + B2A4 + B4B TDAtCtBtDtA B -X Y -AX + BZ AY + BW -c dZ W=CX + DZ CY + DW(4)Bn OO Cn(4)B-1OOC -1O I B-1C-1O三、矩阵可逆的充分必要条件邠介方阵A可逆，等价于1. 存在阶方阵8,有AB = BA = E2. |A| 丰 03. r （A） = n4. A = PP -P,其中P是初等矩阵1 2 si5. A的列（行）向量线性无关6. 齐次方程组Ax = 0只有零解7. Vb,非齐次方程组Ax = b总有唯一解8. A的特征值全不为0四、矩阵的初等变换与初等
11、矩阵（一）矩阵的初等变换及相关概念1. 矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换（1）对调矩阵的两行列（2）用非零常数k乘以某行列中所有元素（3）把矩阵某行列所有元素的k倍加至另一行列对应的元素上去（4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换）（5）不要混淆矩阵的运算2. 行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵 零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方 各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1,并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A,总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质1. 用初等矩阵P左（右）乘A,所得PA（ AP）就是对矩阵人做了一次与P同样的行列初等变换2. 初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵0 0 -10 1 01 0 01 0 01-10 2 0=0 0 1
