《弹性模量计算公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性模量计算公式（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT,或下载源文件到本机 查看。 第三章 压弯构件的失稳 轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载 作用的构件称为压弯构件. 由于压弯构件兼有 受压和受弯的功能,又普遍出现在 框架结构中,因此又称为梁柱 . 钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称 轴, 且偏心弯矩作用在对称平面的单向偏心 情况.对单向偏心的压弯构件 ,有可 能在弯矩平面内失稳,即发生弯曲失稳;也有可能在弯矩作 用平面外失稳,即弯扭 失稳.其弯曲失稳为第二类稳定问题 ,即极值点失稳;其弯扭失稳对理想 的无缺陷 的压弯构件属于第一类稳定问题 ,即分支点失稳,但对实际构件则是极值点
2、失稳 . 对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件 ,在两端作用有轴线压力 P 和 使构件产生同向曲率变形的弯矩M,如果在其侧向有足够的支撑(如图3.1(b), 构件将发生平面内的弯 曲失稳，其荷载-挠度曲线如图3.2(a)中曲线a,失稳的 极限荷载为Pu,属于极值点失稳.图3.1两端简支理想压弯构件图3.2压弯构 件荷载变形曲线如果在侧向没有设置支撑(如图3.1(c),则构件在荷载P未达到 平面内极限荷载 Pu 时, ) 可能发生弯扭失稳,即在弯矩作用平面内产生挠度 v, 在平面外剪心产生位移u,并绕纵轴产生扭转角(如图3.1(d)，其荷载-变形曲线 如图3.2(b)中曲线b,属于分支点失
3、稳，失稳)的分荷载为Pyw,且Pyw 3. 1压 弯构件平面内失稳 对压弯构件, 当弯矩作用平面外有足够多支撑可以避免发生 弯扭失稳时, 若失稳则只可能发 生平面内弯曲失稳. 当用弹性理论分析理想压 弯构件的荷载挠度关系，可以得到图3. 3中的二阶弹性曲线b,它以轴心受压弯 构件的分岔点荷载 PE 处引出的水平线 a 为渐近线. 实际压弯构件存在初始缺 陷(残余应力、几何缺陷), 材料为弹塑性体. 如按弹塑性理论分析, 荷载挠度曲线 将是图中曲线OABC.曲线上A点标志着杆件中点截面边缘开始屈服，对应的荷 载为Pe,随后塑性向截面内部发展，构件变形快速增加,形成OAB上升段,构件 处于稳定平衡
4、 状态;B点为曲线的极值点，对应的荷载Pu为构件在弯矩作用平 面内失稳的极限荷载;到达 B 点以后,由于弹性区缩小到导致构件抵抗力矩的增 加小于外力矩的增加程度,出现下降段 BC, 52 构件处于不稳定平衡状态. 由失 稳全过程可以看出实际压弯构件在弯矩作用平面内的弯曲失稳属 于二阶弹塑性 分析的极值点失稳，不能用弹性理论和平衡微分方程求解极限荷载Pu,而可用数 值积分法通过得出荷载挠度曲线后求得极限荷载 . 压弯构件平面内弯曲失稳的弹性分析虽然不能求出极限荷载 , 但它是弹塑性分析的基础, 因 此有必要先研 究压弯构件平面内弹性失稳. 图 3 .3 压弯构件荷载挠度曲线 3.1.1 压弯构件
5、平 面内弹性弯曲性能 在第二章讨论初始几何缺陷对轴心受压构件稳定性能的影响 时,对图 2.13 所示有偏心的轴 心受压杆已作过分析 ,即当作偏心压弯构件得出 了荷载P与构件中点挠度8之间的关系曲线从式(2.48沖可以看出，若假设材 料是无限弹性体，则当8时,PfPE，即临界荷载P以欧 拉荷载PE为极值.然而实际材料都是有限弹性的，由于压弯构件平面内弯曲失稳时，构件为弹 塑性工 作状态，因此弹性分析只有理论意义 . 下面仅讨论两端铰接受轴向压力和平面内 横向荷载共同作用的弹性压弯构件的内力与变形 性能. 1. 横向均布荷载作用的 压弯构件横向均布荷载作用的压弯构件图3.4(a)所示为在均布荷载q
6、作用 下两端铰接的压弯构件.假定材料完全弹性，取图 3. 4(c) 所示隔离体， 在距左端 x处截面的内力矩M f = Ely ,外力矩M e = Py + qx (l x ) 2 ,平衡方程为令k =P El，则 2 Ely + Py = qx(l x ) 2 qx( x l ) 2 EI 2 方程(3. 1)的特解可写作 y = cl x + c 2 x + c 3 ,代入方程(3. 1 ),有 y “ + k 2 y = (3.1) (Pc1 q 2)x 2 + (Pc 2 + ql 2) x + Pc3 + 2 EIcl = 0 上式是恒等式，故 53 c1=q/(2P) ,c2= -
7、q l /(2P) 2 ,c3= -EIq/P 2 方 程(3. 1 )对应的齐次线性方程y +k y =0的通解可写作y =Asin kx +Bcos kx , 则方程(3. 1 )的通解为 2 2 y= Asin kx +Bcos kx + qx/(2P)-q l x/(2P)-EIq/ P (3.2) 由边界条件 y(0) =0 , y( l )=0 得 A= EIq/P tg (k l /2) , 2 B=EIq/P 2 贝U q kl qx tg sin kx + cos kx 1 2 (l x ) k EI 2 2k EI 构件在 x = l 2 处有最大挠度 y max , 令
8、u = kl 2 ,可得 y= 4 (3.3) y max = ql 4 1 cos u ql 4 16 EIu 4 cos u 32 EIu 2 12(2 sec u u 2 2) = y0 5u 4 (3.4) 式中: y 0 = 5ql 4 (384 EI ) 是均布荷载作用下简支梁的最大挠 度，即当P=0时，由式(3. 4 )求得的最大挠度.式(3. 4 )中括号内的值为考虑 轴线压力后最大挠度的放大系数. 图 3.4 均布荷载作用的压弯构件 将 sec u 展 开成幂级数，有 sec u = 1 + 式中 1 2 5 4 61 6 277 8 u + u + u + u + 2 24
9、 720 8064 u= kl l = 2 2 P n = EI 2 P PE 贝廿式(3. 4 )可写成 y max = y 0 1 + 1.034(P PE ) + 1.0038(P PE ) + - y 0 2 1 1 P PE (3.5)式中 Am = 1 / (1 P / PE )是最大挠度的 放大系数. 构件中点的最大弯矩为 = Am y0 54 1.028 P PE M max = ql 2 8 + Py max = M 0 1+ 1 P PE 卩 mM = 1 P P = Am M 0 E (3.6)式中 M 0 = ql 2 8 是均布荷 载作用下简支梁跨中的最大弯矩；卩m为
10、等效弯矩系数；Am为弯矩放大系数, 用以考虑轴压力 P 产生的二阶效应 . 2. 横向集中荷载作用的压弯构件 由图 3.5(c)知，当 0 x l 2 时，平衡方程为 Ely ” + Py = Qx 2 令 k 2 = P ( El ),贝U 通 解为 y + k 2 y = Qx (2 EI ) (3.7) 3 QI (tgu u ) = QI 33 (tgu u ) = y0 3(tgu3 u ) (3.9)4 Pu 48EI u u 式中 y 0 = Ql 3 (48 EI ) 是集中荷载 Q 作用在跨中时简支梁的最 大挠度,3(tgu u ) u 3是有轴压力作用时最大挠度放大系数.将
11、tgu展成幕级数 y = A sin kx + B cos kx Qx (2 P ) Q 引入边界条件 y (0 ) = 0 , y (1 2) = 0,得 B = 0, A = sec (kl 2)， 贝通解 2 Pk Q kl y= sec sec kx kx 2 Pk 2 令 u = kl 2， 当 x = l 2 时,跨中最大挠度为 ymax = (3.8) tgu = u + u 3 3 + 2u 5 15 +17u 7 315 + 将 u = kl2 = n 2 P PE 代入，则式(3. 9 )可改写为 y max = y 0 1 + 0.987(P PE ) + 0.986(P
12、 PE ) +二y 0 2 图3.5跨中集中荷载作用的压弯构件式中1 (1 P / PE )为最大挠 度放大系数. 跨中最大弯矩为 1 1 P PE (3.10) M max = Ql 4 + Py max = Ql Pl 2 1 + 4 12 EI (1 P PE ) 55 1 0.178 P PE 卩 m M 0 = =M0 (3.11) 1 P P 1 P P = Am M 0 E E 式中M 0 = QI 4是集中荷载作用下简支梁最大弯矩;卩m为等效弯矩系数;弯矩 放大系 数1 0.2 P PE . Am - 1 P PE 对于弹性压弯构件，根据各种荷载作用和支 撑情况，可以计算出跨中
13、弯矩M max的表达通式卩mM (3.12) M max = 1 P PE 再考虑初始缺陷的影响,假定各种缺陷的等效初弯曲呈跨中挠度为v 0的正弦曲 线，则在任意横向荷载或端弯矩作用下跨中总弯矩应为卩M + Pv 0 (3.13) M max =m 1 P PE当压弯构件长度中点截面边缘纤维达到屈服时，其应满足P卩m M + Pv 0 + = fy A (1 P PE )W 令( 3. 14)中 M = 0 ，则得到有初始缺陷的轴心压杆边缘 纤维屈服时的表达式 P0 P0v 0 + = fy A (1 P0 PE )W 因为 P0 = Af y ( 为轴心压 杆稳定系数) ，则由式( 3. 1
14、5 )得 (3.14) (3.15) v 0 = 11 PE A 将式( 3. 16 )代入( 3. 14 )，整理得由边缘纤维屈服导出的相关公式卩mM P + = fy A W (1 P PE )其中 等效弯矩系数卩m取值见表3.1. 3.1.2压弯构件平面内弹塑性弯曲失稳从图 3.3 可以看出，当压弯构件截面边缘纤维开 始屈服， 构件进入弹塑性阶段后， 随 着外荷载的增加， 截面弹性区越来越小， 构件抗弯刚度降低， 变形加快， 以至构 件抗弯能力增加小于外力作用效应的增加， 达 到极限状态时(图 3.3 极值点 B) ， 内外力开始无法 平衡， 构件发生平面内弹塑性整体失稳 . 由于压弯构
15、件的截面 形状， 尺寸和外力作用方式 等不同， 弯曲失稳时构件塑性发展的范围可能只出 现 在图3.6 (a)所示的阴影区，即弯曲凹面受压的一侧；也可能如图3.6(b)所示, 在受压凹面和受拉凸面同 时出现塑性区;对单轴对称截面压弯构件,塑性区也 可 能只出现在受拉凸面的一侧，图3.6(c)所示.1 Af y W (3.16) (3.17)图3.6压弯构 件弯曲失稳的塑性区分布 压弯构件的极限荷载求解比较困难, 一般情况下可用 数值积分法得到数值解 ， 但如果截面形 状比较简单， 不考虑初弯曲和较复杂的 残余应力分布影响时， 经简化后也可用解析法得到近似解 . 56 表 3.1 等效弯矩 系数卩
16、m值1.解析法对于轴压力P和两端相同弯矩M共同作用的两端简 支压弯构件 (图 3.7) 用 Jezek 解析法18 ， 求解可以求出精确度比较高的极限 荷载.其假设为: (1) 材料为理想的弹塑性体; (2) 构件的变形曲线为正弦曲线的 一个半波. 图 3.7a 是矩形截面的压弯构件， 在轴力 P 和端弯矩 M 共同作用下， 平面内弹塑性弯曲失稳 时构件截面的塑性有两种类型: 只出现在受压区， 如图 3.7b 阴影部分所示， 截面弹性区高度为 he ， 细长构件常属此类; 另一类为受压， 受拉区均出现塑性区，图 3.7e 所示，短粗构件常属此类. 下面分别加以讨论: 1)第 一种情况:塑性区仅出现在受压区(图3.7b)图3.7c、图3.7d分别为第1种情 况截面的应变和应力图 .由应力图可以分别得出轴线方向 力和力矩的平衡方程: 2 Py P 1 P =匚 y A 匚 y + 匚 t bhe 或匚 y + 匚 t = (3.18) 2 bhe ( ) ( ) 57 图 3.7 矩形截 面压弯构件中央截面的应变和应力M + Pv
