《福建师范大学2021年8月《常微分方程》作业考核试题及答案参考9》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学2021年8月《常微分方程》作业考核试题及答案参考9（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学2021年8月常微分方程作业考核试题及答案（参考）1. 当x0时，f(x)=tan2x/x的极限是( )。A.0B.1C.2D.1/2参考答案：C2. 用Gauss消元法求解下列方程组Ax=b。用Gauss消元法求解下列方程组Ax=b。x=(2，2，3)T$x=(0，1，-1，0)T3. 设en是内积空间X中的标准正交系，x，yX，证明设en是内积空间X中的标准正交系，x，yX，证明利用Cauchy-Schwarz即Bessel不等式可知 4. 对10名正常男子空腹测定血糖结果为93，102，110，98，109，92，97，102，100，103(mg%)，求正常男子的空腹血糖值
2、的95%对10名正常男子空腹测定血糖结果为93，102，110，98，109，92，97，102，100，103(mg%)，求正常男子的空腹血糖值的95%可信区间。正常男子的空腹血糖值的95%可信区间是 96.3m104.9 5. 在古典概型的概率计算中，把握等可能性是难点之一现见一例：掷两枚骰子，求事件A=点数之和等于5的概率下面在古典概型的概率计算中，把握等可能性是难点之一现见一例：掷两枚骰子，求事件A=点数之和等于5的概率下面的解法是否正确?如不正确，错在哪里?解法：因试验可能结果只有两个，一是点数之和为5，另一个是点数之和不等于5，而事件A只含有其中的一种，因而此解法是错误的，这种解法
3、是对样本空间进行了不正确的划分，分割出的两部分不是等可能的，因而不能据此进行计算 正确的解法如下：掷两枚骰子的样本空间可形象地表为=(i，j):i，j=1，2，6，数对(i，j)表示两枚骰子分别出现的点数，因而一个数对即对应着一个样本点，一共含有62=36个这样的数对，每个数对出现的可能性都等于，而事件A只含有(1，4)，(2，3)，(4，1)，(3，2)这样四个数对，因而在几何概型的概率计算中，关键在于正确地刻画出事件A所对应的子区域SA在下例中找出SA是什么 例甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 我
4、们记该事件为A，甲、乙到达时间分别为x，y(单位：h)，则=(x，y)：0x24，0y24.为求SA，注意到，A发生当且仅当甲、乙到达时间之差不超过6h，即|x-y|6，因而 SA=(x，y)：0x24,0y24,|x-y|6,即图2.1中阴影部分区域，所以 6. 讨论函数在点x=0处的连续性与可导性讨论函数在点x=0处的连续性与可导性当1a0时，因为所以f(x)在点x=0处连续 因为极限不存在所以f(x)在点x=0处不可导，若函数f(x)在点x0处可导时，则f(x)在点x0处连续，反之未必 7. 给定环(5x|xZ，+，)，其中Z是整数集，+和是普通的加法和乘法，它_整环，因为_给定环(5x
5、|xZ，+，)，其中Z是整数集，+和是普通的加法和乘法，它_整环，因为_不是$没有乘单位元素8. 据理回答： (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(据理回答： (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等”的性质? (3)对于可积函数，若“所有下和(或上和)都相等”，是否仍有(2)的结论?正确答案：9. 已知函数 在x=0处连续，求a、b的值。已知函数在x=0处连续，求a、b的值。因为 f(0)=1 又由题设f(x)在x=0处连续，知 即a=lnb=1 则a=1，b=e 10. 设S=a，b
6、，定义二元运算：*为a*a=b*a=a，a*b=b*b=b，证明(S，*)是半群设S=a，b，定义二元运算：*为a*a=b*a=a，a*b=b*b=b，证明(S，*)是半群由条件可知满足封闭性，且满足结合律 (a*b)*a=b*a=a， a*(b*a)=a*a=a； (b*a)*a=a*a=a， b*(a*a)=b*a=a； (a*b)*b=b*b=b， a*(b*b)=a*b=b； (b*a)*b=a*b=b， b*(a*b)=b*b=b； 故是半群 11. 求证：两复点所定直线与这两点的共轭复点所定直线为两条共轭直线，考虑对偶命题求证：两复点所定直线与这两点的共轭复点所定直线为两条共轭直线
7、，考虑对偶命题正确答案：设两复点a、b所定复直线为l则共轭复点应在l的共轭复直线上同理也在上故确定复直线rn 对偶命题：两复直线所交之复点及这两直线的共轭复直线所交之复点为两共轭复点设两复点a、b所定复直线为l,则共轭复点应在l的共轭复直线上,同理也在上,故确定复直线对偶命题：两复直线所交之复点,及这两直线的共轭复直线所交之复点,为两共轭复点12. 设A为n阶正交矩阵，Rn，求证设A为n阶正交矩阵，Rn，求证13. 若y=ln(2x)，则y&39;=1/2x。( )A.错误B.正确参考答案：A14. 重排级数，使它成为发散级数重排级数，使它成为发散级数将原级数展开，引用括号且适当重排为 这样，
8、取时有 即这样重排后级数发散 15. 已知y=4x3-5x2+3x-2，则x=0时的二阶导数y”=( )A.0B.10C.-10D.1参考答案：C16. 问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行； (2)四角相等； (3)四边相等；问正方形的下列性质哪些是仿射性质? (1)对边平行； (2)四角相等； (3)四边相等； (4)对角线互相平分； (5)对角线互相垂直； (6)对角线是角的平分线； (7)对角线相等； (8)面积等于一边的平方正确答案：(1)、(4)是仿射性质(1)、(4)是仿射性质17. 设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+
9、(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数设有n元二次型f(x1，x2，xn)=(x1+x1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，n)为实数.试问：当a1，a2，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型?解法1 由f的定义知，对任意的x1，x2，xn，有f(x1，x2，xn)0，其中等号成立当且仅当 齐次线性方程组(5-20)仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即 所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，对于任意不全为零的x1，x2，xn，都有f(x1，x2，xn)0，即当1
10、+(-1)n+1a1a2an0时，二次型f为正定二次型. 解法2 令矩阵 当|C|=1+(-1)n+1a1a2an0时，C为满秩矩阵，因此通过满秩线性变换 即 就可将f化成规范形 可见f的正惯性指数为n，故f为正定的.所以当1+(-1)n+1a1a2an0时，f为正定二次型.读者试利用反证法说明：1+(-1)n+1a1a2an0也是二次型f正定的必要条件. 18. 设f(x，y)在点(x0，y0)处有f&39;x(x0，y0)=0，f&39;y(x0，y0)=0，则f(x，y)在(x0，y0)点处全微分是零( )设f(x，y)在点(x0，y0)处有fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0
11、，则f(x，y)在(x0，y0)点处全微分是零()参考答案：错误错误19. 已知某产品的净利润P与广告支出z有如下关系：Pba(xP)其中以，b为正的已知常数，且P(0)Po0，求P已知某产品的净利润P与广告支出z有如下关系：Pba(xP)其中以，b为正的已知常数，且P(0)Po0，求PP(x)正确答案：20. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( ) A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数 B当f(x)是偶函数时，F设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则()A当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C当f(x)是周
12、期函数，F(x)必为周期函数D当f(x)是单调增函数，F(x)必为单调增函数21. 设Aa是Cnn上的相容矩阵范数，B，C都是n阶可逆矩阵，且B1a及C1a都小于或等于1，证明对任何A设Aa是Cnn上的相容矩阵范数，B，C都是n阶可逆矩阵，且B1a及C1a都小于或等于1，证明对任何ACnn，Ab=BACa定义了Cnn上的一个相容矩阵范数正确答案：首先证明Ab=BACa是一个矩阵范数正定性 对任意A0则BAC0即BACa0且BACa=0当且仅当A=0齐次性 Ab=B(A)Ca=BACa=Ab. rn 三角不等式A1+A2b=B(A1+A2)CaBA1Ca+BA2Ca=A1bA2b下面证明相容性A
13、1A2b=B(A1A2)Ca=(BA1C)C1B1(BA2C)aBA1CaC1B1aBA2CaBA1CaC1aB1aBA2CaBA1CaBA2Ca=A1bA2b证毕首先证明Ab=BACa是一个矩阵范数正定性对任意A0,则BAC0,即BACa0,且BACa=0当且仅当A=0齐次性Ab=B(A)Ca=BACa=Ab.三角不等式A1+A2b=B(A1+A2)CaBA1Ca+BA2Ca=A1bA2b下面证明相容性A1A2b=B(A1A2)Ca=(BA1C)C1B1(BA2C)aBA1CaC1B1aBA2CaBA1CaC1aB1aBA2CaBA1CaBA2Ca=A1bA2b证毕22. 设X是度量空间，f：X证明f连续的充要条件是对每个a，集合xX：f(x)a与xX：f(x)a都是闭集设X是度量空间，f：X证明f连续的充要条件是对每个a，集合xX：f(x)a与xX：f(x)a都是闭集证明方法1 必要性 设f连续，则 xX：f(x)a=f-1(a，)与
