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1、(文)如图，在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，AD DC , AB / DC , DC = DD1 =2AD=2AB = 2.(1)求证:DB,平面 B1BCC1;(2)设E是DC上一点，试确定 E的位置，使得 D1E /平面A1BD,并说明理由.解析(1)证明：AB / DC, ADXDC, . AB,AD ,在 RtABD 中，AB = AD = 1,，BD=虫,易求 BC = 2,又: CD=2,BDXBC.又 BDLBB1, B1BA BC= B, .BD,平面 B1BCC1.(2)DC的中点即为E点.DE / AB,DE = AB, .四边形 ABED是平行四边形.AD
2、 瞅 BE.又 AD 触 A1D1 , BE 触 A1D1 , 四边形 A1D1EB是平行四边形.D1E / A1B. D1E?平面 A1BD , A1B?平面 A1BD.D1E /平面 A1BD.12点S是正三角形 ABC所在平面外的一点，且 SA=SB= SC, SG为4SAB上的高，D、E、F分别是 AC、BC、SC的 中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明分析如图，观察图形，即可判定SG平面DEF,要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF的一条直线平行.观察图形可以看出：连结 CG与DE相交于H,连结FH, FH就是适合题意的直线.怎样证明SG/FH ?只需证明H是CG的中
3、点.B证法1:连结CG交DE于点H , DE是 ABC的中位线， DE/AB .在4ACG中，D是AC的中点，且 DH/AG ,H为CG的中点.FH 是4SCG 的中位线，FH/SG .又SG?平面DEF , FH?平面 DEF , SG/ 平面 DEF .分析2:要证明SG平面DEF,只需证明平面 SAB平面DEF,要证明平面 DEF平面SAB,只需证明SA/DF , SB/EF 而SA/DF , SB/EF可由题设直接推出.证法2: EF为 SBC的中位线， EF/SB . EF?平面 SAB, SB?平面 SAB, EF/ 平面 SAB.同理：DF/ 平面 SAB, EFADF = F,
4、 平面SAB/平面DEF ,又 SG?平面SAB, SG/ 平面 DEF .例11试证经过平面外一点有且只有一个平面和平面平行.:A?平面a ,求证：过A有且只有一个平面3 / a .分析：“有且只有要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可.证明：在平面a任彳两条相交直线 a和b,那么由A?平面a知，A? a, A? b点A和直线a可确定一个平面 M ,点A和直线b可确定一个平面 N .在平面M、N过A分别作直线a / a, b / b,故a、b是两条相交直线，可确定一个平面3.,a ? a , a? a , a /a, .a He.同理b / a .又 a ? 3 ,b
5、 ? 3 , a n b = A,3 / a .所以过点A有一个平面3 / a .假设过A点还有一个平面丫 / a ,那么在平面a取一直线c, A? c,点A、直线C确定一个平面p ,由公理2知: 3r1Pzm, 丫门。书，- m c, n II c,又 A? m, A? n,这与过一点有且只有一条直线与直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面3只有一个.所以过平面外一点有且只有一个平面与平面平行.例9 如下图，平面a /平面3,点 A、CC ”，点B、D C 3 , AB = a是a、3的公垂线，CD是斜线.假设 AC = BD=b, CD=c, M、N分别是AB和CD的中点，(1)求证：M
6、N / 3 ;(2)求MN的长.9分析：要证MN / 3 , BAD的中点P,只要证明 MN所在的平面 PMN / 3 .为此证明PM / 3 , PN / 3即可.(2)要求MN之长，在 CMA中，CM、的长度易知，关键在于证明MNLCD,从而由勾股定理可以求解.证明：(1)连结AD,设P是AD的中点，分别连结 PM、PN. M 是 AB 的中点，PM/ BD.又 BD? 3 , . PM / 3 .同理: N是CD的中点，PN / AC. . AC? a , . PN / a . a / 3 ,PN nPM=P, 平面 PMN / 3 . MN?平面 PMN , MN / 3 .说明：(1
7、)证线面平行也可以先证“面面平行，然后利用面面平行的性质，推证线面平行，这是一种以退为 进的解题策略.(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解.(3)面面平行的性质：面面平行，那么线面平行；面面平行，那么被第三个平面所截得的交线平行.8设平面a _L平面丫 ,平面3 _L平面丫，且a、3分别与丫相交玉I、b, a/ b.求证：平面a /平面3 .分析：要证明两平面平行，只要设法在平面a上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与3平行如图证明：在平面a作直线 PQL直线a,在平面3作直线MNL直线b.平.平面a，平面丫， PQ平平面丫，MN平平面丫，PQ /
8、 MN .又a/ b, PQAa= Q, MN Ab=N,，平面a /平面3 说明：如果在a、3分别作PQ, 丫，MN，丫，这样就走了弯路，还需证明 PQ、MN在a、3,如果直接在a、3作!、b的垂 线，就可推出PQ/MN.由面面垂直的性质推出“线面垂直，进而推出“线线平行、线面平行，最后得到“面面平行，最后得到“面面平行.其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要.6如图，矩形 ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A? , B? , C? , D?,且A? , B? , C? , D?互不重合,也无三点共线.求证：四边形 A? B? C? D?是平行四边形. 证明：A A?
9、 ! a , DD? aA A? / DD?不妨设A A?和DD ?确定平面3同理BB?和CC?确定平面丫 .又 A A? / BB?，且 BB? ? 丫A A? / 丫同理AD / 丫又 A A? n AD =A又 a n 3 关？ D? , a n 丫3？ C?A? D? / B? C?同理 A? A? / C? D? 四边形A? B? C? D?是平行四边形例4:平面a / 3 , AB、CD为夹在a , 3间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点. 求证：EF / a , EF / 3. , AG PCD =F 1- AG , CD 确定平面 y ,且 丫 Cl a =AC , y
10、A 3 =DG a / 3 ,所以AC / DG ./ ACF = / GDFACFA GDFAF=FG又 AE = BEEF / BG , BG? 3因此EF / 3同理EF / a说明：此题还有其它证法，要点是对异面直线的处理AC与BC?所成的角为3 , A? C?与CD?所成209.长方体 ABCD - A? B? C? D?中，AB?与A? D所成的角为a , 的角为丫。求证：a + 3 + 丫 =兀解析：作如图的辅助线 - 那么/ AB? C 为 AB?与 A? D 所成的角/ AB? C= a . AB =A? B? / =C? D?BC? /AD ?，故/ D? AC 为 AC
11、与 BC?所成的角/ D? AC= 3 .AA? / =DD? / = CC? ,，A? C? /AC . . / D? CA 即为 A? C?与 CD?所成的角 Z D? CA=y在 AACD?和 AACB?中，AB? =CD? , B? C=D? A, AC = CA ACD ? CAB?,故 / AB? C= /AD? C,故/ AD? C= a 在 AAD? C 中，/ AD ? C+/ D? CA+/ D? AC =兀即：a + 3 + 丫 =兀231.如图2 35:在空间四边形 ABCD中，BC = AC, AD = BD ,弓I BEXCD, E为垂足，作 AH，BE于H,求证：
12、AH ，平面BCD。解析： 要证AHL平面BCD,只须利用直线和平面垂直的判定定理，证 AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。证明：取 AB 中点 F,连结 CF、DF, .AC=BC,，CF，AB,又.AD=BD, DF AB, . AB，平面 CDF,又 CD?平面 CDF, . CDAB 又 CDBE, . CD，平面 ABE, CD AH 又 AHBE, . AH，平面 BCD。点评:证明线面垂直，需转化为线线垂直，而线线垂直，又可通过证线面垂直来实现。在这里，定义可以双向使用，即直线a垂直于平面”的任何直线，那么 a a ,反之，假设a! “，那么a垂直于平面”的任何直线。也153
13、.矩形ABCD的边AB=? , BC= a, PA，平面 ABCD , PA= 1,问BC边上是否存在点 Q,使得PQXQD ,并说明理由.p解析：连接 AQ,因PAL平面ABCD,所以PQXQD? AQ QD ,即以AD为直经的圆与BC有交点.当AD=BC=aAB=1,即a 1时，在BC边上存在点 Q,使得PQXQD 当0a1时，在BC边上不存在点 Q,使得PQXQD .88.:直线a/平面求证：经过a和平面a平行的平面有且仅有一个.证：过a作平面与“交于a,在“作直线b与a相交，在a上任取一点P,在b和P确定的平面，过P作b/ b . b 在a外，b，在a ,- b / a而 all aa
14、, b确定的平面3过a且平行于a .过a, b的平面只有一个，过a平行于平面a的平面也只有一个95. : ABCD是矩形，SAL平面 ABCD , E是SC上一点.S求证：BE不可能垂直于平面 SCD.解析：用到反证法，假设 BE,平面SCD,CD?面 SCD, BEX CD AB / CD; ABXBE.AB SB,这与 RtSAB中/ SBA为锐角矛盾.BE不可能垂直于平面 SCD.110. : AB 与 CD 为异面直线， AC = BC, AD=BD.求证：AB LCD.说明：1应用判定定理，掌握线线垂直的一般思路.2思路：欲证线线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由构造线线垂直是关键.3分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法.证明：如图，取AB中点E,连结CE、DE , AC = BC, E 为 AB 中点. CEXAB同理 DE LAB,又 CEA DE = E, 且CE?平面CDE , DE?平面CDE . .ABL平面 CDE又CD?平面CDE ABXCD .BXCD.111.两个相交平面、都垂直于第三个平面，那么它们的交线 a一定和第三个平面垂直.证明：在 取一点P,过P作PA垂直 与的交线；过 P作PB垂直 与 的交线.
