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1、简单线性规划x + y 2 W 0, 例1画出不等式组x + y 4 0,表示的平面区域.x 3 y + 3 0.分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域,然后求其公共部分解：把 x = 0 , y = 0 代入 - x + y - 2 中得 - 0 + 0 - 2 0 不等式-x + y 2 0表示直线-x + y 2 = 0下方的区域(包括边界)，即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示.说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法.例2画出2x 3 y 3表示的区域，并求所有的正整数解(x , y).f y2 x 3分析
2、：原不等式等价于r而求正整数解则意味着x , y还有限制条件，即求y 0, y 0,x e z, y e z,y 2x 3, y 3 .解：依照二兀一次不等式表示的平面区域，知2x - 3 y 0, y 0,X U z y u z对于2x - 3 y 2x 一 3,y 3. 如图所示.容易求得，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3). 说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区 域内找出符合题设要求的整数点来.y x + 11 1例3求不等式组J所表示的平面区域的面积.y |x + 1| 1 可化为 y x(x 1)或
3、y x 2(x 1);不等式 y |x| + 1 可化为 y 0)或 y x + 1(x 1) ,AC : y = x 2(x 0) , DF : y = x + 1(x 0)则不等式组所表示的平面区域如图由于 AB 与 AC 、DE 与 DF 互相垂直 所以平面区域是一个矩形.2 32根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为-兰和223所以其面积为一.22x + y 12 W 0,例4若x、y满足条件 0,求z = x + 2 y的最大值和最小值.x 一 4 y + 10 0所表示平面区域内，同时在不等式2 x + y + 6 0所表示的平面区域内，同时又在不等式2x y +
4、 2 0, 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组2 x + y + 6 0,表示.2 x y + 2 0 , x + y - 10 0 .求x2 + y2的最大、最小值.分析：令z = x2 + y2，目标函数是非线性的而z = x2 + y2内的点到原点距离的平方.问题转化为点到直线的距离问题.x + y 5 = 0 , x + y 10=(x2 + y2 )可看做区域()x2 + y 2 7，而(0,0)至I解：由J歹 -得可行域(如图所示)为z = x2 + y2 I x + y 一 10 0,解：作出直线l ：4x + 3y - 20 = 0和直线l : x - 3y - 2 =
5、0，得可行域如图所示.12f4 x + 3 y - 20 = 022 4解方程组得父点A(,).x - 3 y - 2 = 05 5又作直线/：7 x + 5 y = 0，平等移动过点A时，7 x + 5 y取最大值，然而点A不是整数4点，故对应的z值不是最优解，此时过点A的直线为7x + 5 y = 34 -，应考虑可行域中距离 54直线7 x + 5 y = 34 最近的整点，即B (2,4)，有z = 7 x 2 + 5 x 4 = 34，应注意不是找距 5(B )点A最近的整点，如点C(4,1)为可行域中距A最近的整点，但z = 7 x 4 + 5 x 1 = 33, (C)它小于 z
6、 ，故 z 的最大值为 34.(B) 说明：解决这类题的关键是在可行域内找准整点.若将线性目标函数改为非线性目标函 数呢？x - 4 y -3,例8设z = x2 + y2，式中的变量x、y满足 3x + 5 y 1.分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数z = x2 + y2应理解为 可行域中的点与坐标原点的距离的平方.解：作出直线l: x - 4y + 3 = 0，l ：3x + 5 y - 25 = 0，l : x = 1得到如图所示的可行123域.得 A(5 , 2)f x 一 4 y + 3 = 0由 13 x + 5 y - 25 = 0亠 fx 一 4 y +
7、3 = 0/口由得 C (1,1)I x = 1由 f z =(5 + 4 p + 3 q),I 276p 一 q 一 8 0, 0,做出不等式所示平面区域如图所示. p + 4q + 5 0, x + 5 y 一 25 = 0 得 B (1空).x = 15由图可知：当(x , y)为点C(1,1)时，z取最小值为2；当(x , y)为点A(5,2)时，z取最大值 29说明：若将该题中的目标函数改为z =-，如何来求z的最大值、最小值呢？请自己探 y求.(将目标函数理解为点(x , y)与点(0,0)边线的斜率)例 9 设x 0， y 0， z 0 ； p = -3x + y + 2z， q
8、 = x 一 2y + 4z， x + y + z = 1，用图表示出点 ( p , q ) 的范围分析：题目中的p，q与x，y，z 是线性关系.可借助于 x ， y ，z 的范围确定 ( p , q )的范围.1x =(8 + q 一 6 p),f3 x 一 y 一 2 z = 一 p, x 一 2 y + 4 z = q,x + y + z = 1,27解：由1 . 0 27借助于三元一次方程说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x，y，z的取值范围.组分别求出 x ， y ， z ，从而求出 p ， q 所满足的不等式组找出 ( p , q) 的范围.例 10 某糖果厂生产 A 、 B 两
9、种糖果， A 种糖果每箱获利润 40 元， B 种糖果每箱获利润50 元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均 时间（单位：分钟）混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12 机器小时，烹调的设备至多只能用机 器 30 机器小时，包装的设备只能用机器 15 机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最 大利润分析：找约束条件，建立目标函数解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在x + 2 y 7205 x + 4 y 1800约束条件3 x + y 0y 0OA : y = 0 AB : 3x +
10、y - 900 = 0 BC :5x + 4y - 1 8 0 0= 0CD : x + 2 y - 720 = 0 DO : x = 0由z = 40 x + 50 y得y = - x + ，它表示斜率为-一，截 5505距为丄的平行直线系，丄越大，z越大，从而可知过C点时截 5050距最大， z 取得了最大值“、十，f x + 2 y = 720/、解万程组n C （120 ,300 ）5 x + 4 y = 1800z = 40 x 120 + 50 x 3 00= 1 9 8 0即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱， max可得最大利润 19800 元说明：由于生产A种糖果12
11、0箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的 混合时间为120+2X300=720 （分）烹调时间5X120+4X300=1800 （分）包装时间3 X 120+300=660 （分）这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对 包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部 分，有待于改进研究例11甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：甲乙丙维生素A （单位/千克）600700400维生素B （单位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素A和63000单位维生素B . (1) 用x、y表示混合物成本C . (2)确定x、y、z的值，使成本最低.分析：找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解.解： (1)依题意：x、y、z 满足 x + y + z = 100 n z = 100 一 x 一 y
