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1、实验名：离散傅里叶变换及其特性验证一、实验目的1、掌握离散时间傅立叶变换(DTFT)的计算方法和编程技术。2、掌握离散傅立叶变换(DFT)的计算方法和编程技术。3、理解离散傅立叶变换(DFT)的性质并用MATLAB进行验证。二、实验原理与计算方法1、离散时间傅立叶变换如果序列x(n)满足绝对可和的条件，即 | x(n)l 5，则其离散时间傅立叶变换定义为:n=g1)X (e jm) = F x(n)=另 x(n)e n=g假设序列x(n)在n n n (即不一定在0, N-l)有N个样本，要估计下列各点上的1NX(ejm):m = k,k = 0,1,2., MkM它们是o,n之间的(m+1)
2、个等间隔频点，则(i)式可写成：X(ejm) = e-jZknlx(n ),k = 0,1,2.,M(2)ll =1将x()和X(ejmk)分别排列成向量x和X,则有：X=Wx( 3)其中W是一个(M+1)XN维矩阵：W = ejMkn;n n 1N将k和n排成列向量，则w = exp-j k 5_ I M 丿_在 MATLAB 中，把序列和下标排成行向量，对(3)式取转置得f j 丄 n t kXT = xTexpI M丿_其中nrk是一个NX(M+1)维矩阵。用MATLAB实现如下： k=0:M; n=n1:n2;X=x*(exp(-j *pi/M).人(n*k);2、离散傅立叶变换一个有
3、限长序列的离散傅立叶变换对定义为：4)X (k) = x(n)W nk ,0 k N 1Nn=0x(n) =kn , 0 n N 1NNk=0以列向量x和X形式排列x(n)和X(k)，则式(4)、(5)可写成:X=WNx可由下面的MATLAB函数dft和idft实现离散傅立叶变换运算。function Xk = dft(xn,N)% Computes Discrete Fourier Transform% % Xk = dft(xn,N)% Xk = DFT coeff. array over 0 = k = % xn = N-point finite-duration sequence %
4、N = Length of DFT%n = 0:1:N-1;k = 0:1:N-1;WN = exp(-j*2*pi/N);nk = n*k;WNnk = WN ,A nk;Xk = xn * WNnk;function xn = idft(Xk,N)% Computes Inverse Discrete Transform% % xn = idft(Xk,N)% xn = N-point sequence over 0 = n = % Xk = DFT coeff. array over 0 = k = % N = length of DFT%n = 0:1:N-1;k = 0:1:N-1;
5、WN = exp(-j*2*pi/N);nk = n*k;WNnk = WN ,A (-nk); xn = (Xk * WNnk)/N;3、离散傅立叶变换的性质N-1% row vector for n% row vecor for k% Wn factor% creates a N by N matrix of nk values% DFT matrix% row vector for DFT coefficientsN-1N-1% row vector for n% row vecor for k% Wn factor% creates a N by N matrix of nk valu
6、es% IDFT matrix% row vector for IDFT values(1)线性性质：DFTax (n) + bx (n) = aDFTx (n) + bDFTx (n)1 2 1 2注意：若x1(n)和x2(n)分别是N1点和N2点的序列，则选择N亍max (N1, N2),将它们作N3 点 DFT 处理。(2) 周期性：离散傅立叶变换(DFT)是周期序列DFS取主值区间形成的，因此序列x(n) 及其 DFT X(k)具有特性x(N-n) = x(-n)和 X(N-k) = X(-k)。通常将结果N/2+1 N1 间 的X(k)量值表示在k的负值区间。(3) 对称性：实序列x
7、(n)的离散傅立叶变换可以表示为X(k) = Xr(k) + jX,(k)，其中实部为偶对称，虚部为奇对称，幅值|X(k)| =、X2(k) + X2(k)为偶对称，相位申(k) = arctan riX (k)r 为奇对称。根据上述关系，对于实序列x(n)，则有X*(N-k) = X(k)；对于纯虚序列x(n)，贝V有X *(N k) = -X (k) o三、实验内容(1)将实指数函数e tu(t)抽样，取抽样周期为1/64,作64点DFT，并作出实部、虚 部和幅频、相频特性曲线。DFT函数代码：func tion Xk=d ft( xn,N)n=0:l:NT;k=0:l:Nl;WN=exp
8、(-j*2*pi/N);nk=n*k; WNnk=WN.nk;Xk=xn*WNnk;主函数代码：n=0:l:63;N=64;Ts=1./N;t=n.*Ts; xn=exp(-t);(2)将图3-2中的两个连续函数抽样，取抽样周期为1/32，作64点DFT，验证前述的 四种奇偶特性，并作出幅频和相频特性曲线。Xk=df t(xn,N) s=imag(Xk) c=real(Xk) f=abs(Xk) h=angle(Xk) subplot(5,l,l);stem(c, .,b); title(实部特性曲线) subplot(5,l,2);stem(s, .,b); title(虚部特性曲线) su
9、bplot(5,l,3);stem(f, .,b); title(幅频特性曲线) subplot(5,l,4);stem(h, .,b); title(相频特性曲线) subplot(5,l,5);stem(n,xn, .,b );title (xn曲线) 试验截图：图3-1连续时间函数图3-2两个有限时间连续函数A.主函数为：n=0:32N=64Ts=l./Nt=n.*Tsxn=tXk=df t(xn,33)subplot(4,l,l);stem(real(Xk),.,b); title(实部特性曲线) subplot(4,l,2);stem(imag(Xk), .,b); title(虚部
10、特性曲线) subplot(4,l,3);stem(abs(Xk),.,b); title(幅度特性曲线) subplot(4,1,4);stem(angle(Xk),.,b); title(相位特性曲线) 试验截图为：B.主函数为：n=0:32N=64Ts=1./Nt=n.*Tsxn1=-txn2=-t+2Xk1=dft (xnl,33)Xk2=df t(xn2,33)f=Xkl,Xk2subplot(4,l,l);stem(real(f),.); title(实部特性曲线) subplot(4,l,2);stem(imag(f), .); title(虚部特性曲线) subplot(4,l,3);stem(abs(f),.); title(幅度特性曲线) subplot(4,1,4);stem(angle(f), .); title(相位特性曲线) 试验截图为：
