思考题8-11.不能因为如果是方阵对应的特征向量，是一个固定的向量，则满足的是唯一的 2. 的特征值是和的特征值的并若是的特征值，是的特征值，则,是的特征值 因为的根是的根与的根的并3.一般不相同例1：设 的特征值为而的特征值为.例2:：设的特征值为，而的特征值为4.一般不是例如，设，的特征值为，而的特征值为 +的特征值为.+的特征值不是和的特征值之和这个结论不成立的原因是λ和μ作为和的特征值所对应的特征向量一般不相同5. ， 6.当和不全为时，也是对应的特征向量习题8-11.（1）的特征值为；对应的全部特征向量依次为 (2) 的特征值为(单）,(二重);对应的全部特征向量依次为 （和不全为）. (3) 的特征值为(单）,(二重);对应的全部特征向量依次为 . (4) 的特征值为(三重);对应的全部特征向量为（） （5）的特征值为(单）,(重);对应的全部特征向量依次为 （,不全为）.2.证：设是的特征值，则，=或.故的特征值的可能取值为或.3.解：由已知，得.进一步可得,解得，. 故的全部特征值为.4.解：将中的换为得到，故有一个特征值为.5.解：因为为四阶方阵，所以有四个特征值。
设也是的特征值由，得，因为等于特征值之积，所以的特征多项式为.6. 证：设是的特征值，则，故幂零矩阵只有零特征值.7.证：因为的每一列元素之和都为常数k，而对称矩阵的第行的数与第列的数相同，所以 故k是的一个特征值，且是的对应于特征值k的特征向量.8. 证： 设是的特征值，则，=.故的特征值只为，的特征值只为.于是， 可逆的特征值都不为零.提高题8-11.解：设解得故因为所以.2.证：若，则，进一步可得，也是的特征值.设是对应的特征向量，则用同时乘以上式两边，得 即若，则，而这与矛盾，所以于是，由可知，也是的特征值.3.（1）证：由和正交，得.于是，. 设是的特征值，则.故只有零特征值. （2）解：为了求的全部特征向量，需解方程组即解方程组 不妨设，下面算出并用初等行变换对进行化简 化简后成为 ，的全部特征向量为 ，其中不全为零4.证：由为降秩阵可知，的秩为或.若的秩为，则，的特征值全为零当的秩为时，根据习题5-2（112页）第4题可知，存在非零向量和，使得 .根据上一题，若和正交，则只有零特征值.若和不正交，由可知有一个特征值为. 由于的基础解系含个向量，所以0是的n-1重零特征值。
5.证：有非零解设是其非零解，则由此可得， 可见，既是的特征向量，也是的特征向量，对应的特征值是0.思考题8-21.不唯一因为的相似标准形是一个对角矩阵，其对角元为的特征值，特征值的排列次序可以变2.不唯一因为的列向量是的线性无关的特征向量，要用到的基础解系，而的基础解系是不唯一的3.不妨设可逆，则 4. 与相似因为可以写成，满足相似的定义5.与的特征值相同，但不相似.6.能因为上三角形矩阵的特征值为其对角元，对角元互异的上三角形矩阵的特征值都是单特征值，所以能与对角阵相似7.不成立需加条件：可相似对角化当阶矩阵可相似对角化时，设的非零特征值为，则存在可逆矩阵，使得，的秩等于对角矩阵的秩，即非零特征值的个数下面给出一个该结论不成立的例子的秩为2，但一个非零特征值都没有习题 8-2 1.注：当与相似时，与的特征值、行列式、迹均相同，可根据这些相等关系来建立方程，从而求出x和y解法1：由与相似，得，即，解得.解法2：由与相似可知，与的特征值相同显然，2是的特征值，因而2也是的特征值由，得，解得再由，求得2.解法1：由与相似, 可知的特征值为，因而的特征值为，所以.解法2：设，则.3.（1）解： , 由于的特征值都是单特征值，所以可相似对角化。
2)解：, （3重）. 由于，，只能对应出一个线性无关的特征向量，所以不可相似对角化3) , （2重）.由于，，只能对应出一个线性无关的特征向量，所以不可相似对角化4.（1）解： ，； ，； ，.令则. (2) 解： ， （2重），（单）. ， 的基础解系为. ， 对应的方程组为，的基础解系为令则.5.证：由及的秩都小于3，可知的特征值为因为的特征值都不为零，所以可逆的特征值为，的特征值为，.6.解：， （2重），要使可相似对角化，需对应出2个线性无关的特征向量，需 因为，所以7.解：令，则. . 8.证：设则对于，有 ， 故与相似9.证：由已知，得所以是的特征值对应的特征向量.10.证：因为可相似对角化，所以存在可逆矩阵，使得为对角矩阵 将上式转置，得，即于是， 即取，则.提高题8-21.证：设，两边取逆，得，故与相似。
由与相似，得 用（即）乘以的两边，得 ，即故与相似.2.解法1：令，则.由，得的特征值为.解法2：设，则比较系数，得.解得3.解法1：设，则. 解法2：设，两边平方，得 因为，，而，所以4. 证：设为阶方阵由,得又因为，所以 若则，可相似对角化，其相似标准形是它自己若则，可相似对角化，其相似标准形是它自己下面设由，可知的非零列向量是对应的特征向量，有个线性无关的特征向量由,还可得的非零列向量是对应的特征向量，有个线性无关的特征向量因为并且相异特征值对应的无关特征向量合起来还是无关的，所以有个线性无关的特征向量，故可相似对角化因为恰好有个特征值，而每个特征值的重数大于或等于其所对应的无关特征向量的个数，所以的相似标准形为，其中的个数为，的个数为.思考题8-3 1.实对称矩阵的非零特征值的个数等于.因为实对称矩阵都可相似对角化 2.不能因为若为正交矩阵，为对角矩阵，则，可以验证为对称矩阵，这说明只有对称矩阵才能通过正交相似变换将其化为对角矩阵 3.是因为正交化所得向量组与原向量组等价，根据性质8-3可以验证。
习题8-3 1.（1）解： , （2重），（单）. 对于，解方程组 ， 方程组的基础解系为 将正交化，取 ， .再将单位化，得 .对于，由 ，求得齐次线性方程组的基础解系为.将单位化，得 .令 ,则为正交矩阵，且 . (2)解： ， （2重），（单）. 对于，解方程组 ， 方程组的基础解系为 将正交化，取 ， .再将单位化，得 .对于，由 ，求得齐次线性方程组的基础解系为.将单位化，得 .令 ,则为正交矩阵，且 . (3)解：由，求得的特征值为，，.对于，由 ,求得齐次线性方程组的基础解系为.对于，由 ，求得齐次线性方程组的基础解系为.对于，由 ，求得齐次线性方程组的基础解系为. 将单位化，得 . 令 ,则为正交矩阵，且 .(4)解：由，求得的特征值为，，.对于，由 求得齐次线性方程组的基础解系为.对于，由 ，求得齐次线性方程组的基础解系为.对于，由 ，求得齐次线性方程组的基础解系为. 将单位化，得 . 令 ,则为正交阵，且 2.解：设是对应的特征向量，则与正交。
于是，有 求得基础解系为令，则. .3. 解：设是对应的特征向量，则与均正交于是，有 求得该方程组的基础解系为令，则. .4.证：由为实对称矩阵可知，的特征值都是实数因为等于的特征值之和，且，所以一定有一个负特征值设为的特征值，是对应的实特征向量，则,5.解：（1）.因为实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩，所以只有一个非零特征值，0为的重特征值由可知，是的单特征值 （2），的特征值为（重）,(单).因为也是实对称矩阵，它的秩等于其非零特征值的个数，所以6.证：设是的特征值，则，或.因为为实对称矩阵，的特征值都是实数，所以的特征值只为由为实对称矩阵可知，存在正交矩阵，使得提高题8-31.解：设是的特征值，则，或.因为是实对称矩阵，非零特征值的个数等于它的秩，而，所以是的重特征值，是的重特征值，相似于2.证：设是正交矩阵的特征值，是对应的特征向量，则因为为正交矩阵，所以 注：正交矩阵都是实矩阵，，即由得所以3.证：设是实的反称矩阵的特征值，是对应的特征向量，则，即 由得所以为零或纯虚数。