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1、勾股定理的证明方法探究勾股定理又叫毕达哥拉斯定理：在一个直角三角形中，斜边边 长的平方等于两条直角边边长平方之和。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人 们对它的证明趋之若鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好 者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也 许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地 反复被人论证。1940年出版过一本名为毕达哥拉斯命题的勾股 定理的证明专辑，其中收集了 367种不同的证明方法。实际上还不止 于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国 清末数学家华衡芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无
2、法比拟的。2. （邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1Ab2形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，Rt A HAE 9 RtA EBF,.ZAHE = ZBEF.T ZAEH + ZAHE =90o, ZAEH + ZBEF = 90o. ZHEF = 180o 90o二 90o. A 四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2. J Rt AGDH9 Rt A HAE, A ZHGD = ZEHA. T ZHGD + ZGHD = 90o, AZEHA + ZGHD = 90o.又 T ZGHE = 90o, A ZDHA
3、= 90o+ 90o=180O.A ABCD是一个边长为a +b的正方形，它的面积等于(a+b)2. (a+b)2=4x1/2ab+c2A a2 +b2 二c?。1.课本方法：做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等.即a2 +b2 +4x1/2ab=c2 +4x1/2ab, 整理得a? +b2 =c2o3. （赵爽证明）以a、b为直角边（ba）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角1ab2三角形的面积等于.把这四个直角三角
4、形拼成如图所示形状. Rt ADAH 9Rt A ABE, A ZHDA = ZEAB.T ZHAD + ZHAD = 90o,A ZEAB +ZHAD = 900，2ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于C.T EF = FG =GH二HE4. (1876年美国总统Garfield证明)以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角la b形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线 上.J Rt A EAD 9 RtA CBE, ZADE = ZBEC. T ZAED + ZADE = 90o, ZAED + ZBEC = 90o
5、. A ZDEC = 180o 90o二 90o. A A DEC是一个等腰直角三角形，12c2它的面积等于.又T ZDAE = 90o, ZEBC = 90o, A ADBC.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)2.1/2(a+b)2=2x1/2 ab+1/2c2A a2 +b2 =c2o欧几里得在他的几何原本中给出了勾股定理的推广定理：“直 角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似 的直边形面积之和”。从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边 为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径 所作两圆的面积和”。勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作 相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体 表面积之和。若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面 积等于两直角边上所作二球表面积之和。总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂。
