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1、专题九直线与圆【考点聚焦】考点1：直线的方程.考点2：两条直线的位置关系.考点3：线性规划的实际应用.考点4：曲线和方程.考点5：圆的方程.考点6：直线与圆的位置关系.考点7：有向线段、定比分点、对称问题.【自我检测】1、 叫做直线l的倾斜角.2、 斜率k=_=_.3、 直线方程的点斜式：斜截式：；两点式；截距式：；一般式：.4、 叫做圆.5、 圆的标准方程：，圆心坐标为，半径为.6、 直线l1、l2的方程分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2，（1）l1l2；（2）l1l2；若直线方程为一般式呢？7、 直线与圆的位置关系有、.【重点难点热点】问题1：求直线方程.常用待定系数法，即根据已知条
2、件，首先确定采用直线方程的形式，然后确定其中相关的待定常数，如斜率、截距等.例1已知直线l经过点P（2,1），且直线l：x-2y+4=0的夹角为，求直线l的方程.思路分析：在l的斜率存在的前提下，可采用点斜式方程，若l的斜率不存在，则可直接写出方程.解：若直线l的斜率存在，设其为k，则 这时直线l的方程为3x+4y-11=0.若直线l的斜率不存在，其方程为x=1，经过验证，这时它与l的夹角为.因此，直线l的方程为3x+4y-11=0或x=1.点评：涉及用点斜式求直线方程的问题，一定要注意其斜是否存在；用截距式求方程时要讨论直线是否过原点.演变1：已知等腰直角三角形ABC中，C90，直角边BC在
3、直线2+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程点拨与提示：利用等腰直角三角形的性质，得出ABC45，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程问题2：两直线的位置关系利用两条直线平行或垂直的条件判定它们平行或垂直，由直线到直线的角和夹角公式求直线到直线的角和夹角.例2：没a,b,c分别是ABC中角A，B，C的对边的边长，则直线xsinA+ay+c=0与直线bxysinB+sinC=0的位置关系是（）A平行B重合C垂直D相交但不垂直思路分析：显然已知的两条直线的斜率都存在，所以可以从它们的斜率的联系上来推断.解法1：由已知，两直线的斜率分别为，.
4、由正弦定理知：.两直线垂直，故应选C解法2：直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0,而bsinA+a(-sinB)=0，所以两直线垂直.故选C.点评：当两条直线l1、l2的方程分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2（即它们的斜率都存在时），可由k1，k2这间的具体值来判断它们的位置关系以及求夹角；当l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0时，可由l1l2 A1A2+B1B2=0来判断它们是否垂直.演变1：在ABC中，BC边上的高所在的直线方程是x2y+1=0,A的平分线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为
5、(1,2),求点A和点C的坐标.点拨与提示：根据条件分析出图形，利用数形结合求解，是解决此题的关健.问题3：线性规划及应用准确找出及表示出已知条件下的线性约束条件及目标函数，利用线性约束条件所表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数的最值.例3：画出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）为顶点的ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x2y的最大值和最小值思路分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式不等式组；求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为
6、所求ABC区域直线AB的方程为x+2y1=0，BC及CA的直线方程分别为xy+2=0，2x+y5=0在ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y10，xy+20，2x+y50因此所求区域的不等式组为作平行于直线3x2y=0的直线系3x2y=t（t为参数），即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=xt过A（3，1）时，纵截距t最小此时t最大，tmax=332（1）=11；当直线y=xt经过点B（1，1）时，纵截距t最大，此时t有最小值为tmin= 3（1）21=5因此，函数z=3x2y在约束条件x+2y10，xy+20，2x+y50下的最大值为11，最小值为
7、5点评：确定一个点是否在不等式表示的区域内，只要将该点代入不等式，若满足该不等式，则点在区域内；若不满足不等式，则该点就不在区域内.演变3：实系数方程f（x）=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）的值域；（2）（a1）2+（b2）2的值域；（3）a+b3的值域 点拨与提示：由f（x）=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，知f（0）0，f（1）0，f（2）0，得到关于a,b的不等式组来求解.问题4：圆的方程的求法根据已知条件先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法.例4：条件：(1)截轴弦长为2
8、.(2)被轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1在满足(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线距离最小时圆的方程.解：设所求圆的方程为：，则由截轴的弦长为2得由被轴分成两段圆弦，其弧长之比为，圆心到直线的距离即 当且仅当 即 或 时，取“=” ， 此时所以，所求圆的方程为或点评：本题考查了用待定系数法求圆的方程，其中条件（1）和（2）的转化要注意利用圆的几何性质，只有这样才能既直观又准确地写出其代数关系式.演变4：一个圆和已知圆外切,并与直线: 相切于点M（）,求该圆的方程点拨与提示：用待定系数法.问题5：直线与圆的位置关系利用它们的方程联立的方程组的解的情况（称为代数方程）或利用圆心到直线的距离与半
9、径的大小关系（称之为几何方程）来求解.例5：一直线经过点P被圆截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程思路分析：利用圆中“半径、半弦、弦心距”构成直角三角形可解.解: (1)当斜率k不存在时, 过点P的直线方程为,代入,得.弦长为,符合题意(2)当斜率k存在时,设所求方程为,即 由已知,弦心距 ,解得 所以此直线方程为 ,即 所以所求直线方程为 或点评: 关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可用代数法的弦长公式求解本题还要注意,斜率不存在时直线符合题意演变5：自点A(-3,3)发出的光线射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线所在的直线方程
10、点拨与提示：求切线问题,可利用圆心到切线的距离等于圆的半径来求解.若由“”求切线方程，过程要复杂些演变6： 如果实数满足,求的最大值、2x-y的最小值点拨与提示: （1）用圆的切线的性质来求解，（2）由圆的参数方程设圆上一点的坐标，代入2x-y，转化为三角函数的最值问题来求解.问题6：轨迹方程的求法问题求轨迹方程常用的方法有：直译法、相关点法、参数法等例6（05年江苏）如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.PMNO1O2Oyx 思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由
11、题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：,即，结合图形由勾股定理转化为：,设P(x,y)由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程. 解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：,即，因为两圆的半径都为1,所以有：，设P（x,y）则（x+2）2+y2-1=2(x-2)2+y2-1， 即 综上所述，所求轨迹方程为：（或） 点评：本题命题意图是考查解析几何中求轨迹方程的方法,考查建立坐标系,数形结合数学思想方法,勾股定理,两点间距离公式等相关知识点,及分析推理、计算化简技能、技巧等.演变7：已知A、B
12、为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 演变8：如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 点拨与提示：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程 专题小结1、求直线方程，常用待定系数法，即根据已知条件，首先确定采用直线方程的形式，然后确定其中相关的待定常数，如斜率、截距等.在注意斜率不存在情形.2、两直线的位置关系问题，利用两条直
13、线平行或垂直的条件判定它们平行或垂直，由直线到直线的角和夹角公式求直线到直线的角和夹角.3、线性规划及应用问题，要准确找出及表示出已知条件下的线性约束条件及目标函数，利用线性约束条件所表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数的最值.4、求圆的方程，先根据已知条件先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法.要注意圆的几何性质在解题中的运用.5、直线与圆的位置关系，利用它们的方程联立的方程组的解的情况（称为代数方程）或利用圆心到直线的距离与半径的大小关系（称之为几何方程）来求解.【临阵磨枪】一 选择题1圆x2+y24x=0在点P（1，）处的切线方程为Ax+y2=0 Bx+
14、y4=0 Cxy+4=0 Dxy+2=02由点M(5,3)向圆所引切线长是（ ）A B. C. 51 D . 13在圆上,与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 4若圆（x3）2（y+5）2r2上有且只有两个点到直线4x3y=2的距离等于1，则半径r的范围是A（4，6） B4，6） C（4，6 D4，65已知直线ax+by+c=0（abc0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为a、b、c的三角形（）A是锐角三角形 B是直角三角形 C是钝角三角形 D不存在6若动圆与圆相外切,且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A. y2+12x-12=0 B. y2-12x+12=0 C. y2+8x=0 D. y2-8x=07（06年
