方波的傅里叶分解与合成

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1、方波的傅里叶分解与合成【实验目的】1. 用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。2. 将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。3. 了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。【实验仪器】FD-FLY-A型傅里叶分解与合成，示波器，电阻箱，电容箱，电感。【实验原理】1. 数学基础任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：+ * (a cos nt + b sin gt)n=1所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有n阶谐波的迭加。如图1所示的方法可以写成:f (t)=T h(。 t -)-h(-T t

2、0)2此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为： 4h .1. 11.、f (t) = (sin t + sin 3 t + sin 5 t + sin 7 t +)兀3574h w1._= 芝 ()sm(2 - 1)wt冗2n -1n=1同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为：4h, T /T、t(- t )f (t )= T44a /r 2t./T / 3T.2h(1 - t)(4 t 4)8h111 .f (t)=(sin t - 3 sin 3t + sin 5t - 7- sin 7t +8h 1X (-1) n-1sin(2n 一 1)t冗 2(2n -1)2n

3、=1图3波形分解的RLC串联电路2. 周期性波形傅里叶分解的选频电路我们用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角 波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量 它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的 波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。本仪器具有1KHz的方波和三角波供做傅里叶分解实验， 方波和三角波的输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。实验原理图如图3所示。这是一个简单 的RLC电路，其中R、C是可变的。L 一般取0.1HH范围。当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率必0为：必0 = lc。这个响应的w L频带

4、宽度以Q值来表示：Q= 0。当Q值较大时，在。附近的频带宽度较狭窄，所以实验中我们应该选择Q值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出 来。的值为：V（t）=今sin河。t，如果我们调节可变电容C，在 n气频率谐振,我们将从此周期性波形中选择出这个单元。它这时电阻R两端电压为：匕（t）=哗sin（叫5）,此式中CPF =1 X，X为串联电路感抗和容抗之和/广%，Z为串联电路的总阻抗。在谐振状态X=0，此时，阻抗Z=r+R+RL+RC=r+R+RL，其中，r方波（或三角波） 电源的内阻；R为取样电阻；Rl为电感的损耗电阻；RC为标准电容的损耗电阻（RC值常因较小而忽 略）。电感用良导体缠绕而成，由

5、于趋肤效应，日1的数个将随频率的增加而增加。实验证明碳膜电 阻及电阻箱的阻值在1KHz7KHz范围内，阻值不随频率变化。3. 傅里叶级数的合成仪器可提供振幅和相位连续可调的1KHz, 3KHz, 5KHz, 7KHz四组正弦波。如果将这四组正弦 波的初相位和振幅按一定要求调节好以后，输入到加法器，叠加后，就可以分别合成出方波、三 角波等波形。【实验内容与步骤】方波的傅里叶分解1. 先确定RLC串联电路对1KHz，3KHz，5KHz正弦波谐振时的电容值CC3、C5，并与理论值 进行比较。实验中，观察在谐振状态时，电源总电压与电阻两端电压的关系。可从李萨如图为一 直线，说明此时电路显示电阻性，接线

6、图如下。（电感：L=0.1H（标准电感），理论值：C =-1）i图4确定RLC电路谐振电容接线图2.将1KHz方波进行频谱分解，测量基波和n阶谐波的相对振幅和相对相位，接线图如下。图5频谱分解接线图将1KHz方波输入到RLC串联电路，如图5所示。然后调节电容值至C1, C3, C5值附近，可以 从示波器上读出只有可变电容调在C，C，C时产生谐振，且可测得振幅分别为b，b，b （这里 135135只需比较基波和各次谐波的振幅比，所以只要读出同一量程下示波器上的峰值高度即可）；而调节 到其它电容值时，却没有谐振出现。3.相对振幅测量时，用分压原理校正系统误差。若：气为3KHz谐波校正后振幅，b3为

7、3KHz谐波未被校正时振幅。七为1KHz使用频率时损 耗电阻。Rl3为3KHz使用频率时损耗电阻，r为信号源内阻。则：RRR1 + R + r，Rl 3 + R + rb = b X R 3 + R + 33 R1+R+r1）测量方波信号源的内阻r。先直接将方波信号接入示波器，读出峰值；再将一电阻箱接入 电路中，调节电阻箱，当示波器上的幅度减半时，记下电阻箱的值，此值即为r。接线图如下：图6测量信号源内阻电路2）不同频率电流通过电感损耗电阻的测定。图7测量电感损耗电阻原理图对于0.1H空心电感可用下述方法测定损耗电阻R。接一个如图7的串联谐振电路。测量在 谐振状态时，信号源输出电压VAB和取样

8、电阻R两端的电压Vr （用示波器测量Vab、Vr电压），则：R r R + R = （L -1）RL L C VRRC为标准电容的损耗电阻，一般较小可忽略。同理测出3KHz、5KHz下电感的损耗电阻，接线 图如下。图8测量电感损耗电阻接线图傅里叶级数合成:A方波的合成f (x) = (sin t + 上 sin 3 t + 上 sin 5 t + 上 sin 7 t)兀3571以上式中可知，方波由一系列正弦波（奇函数）合成。这一系列正弦波振幅比为1： 3它们的初相位为同相。1. 用李萨如图形反复调节各组移相器IKHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波同位相。而Y轴输入IKHz、3KHz、5K

9、Hz、7KHz正弦波在示调节方法是示波器X轴输入1KHz正弦波：波器上显示如下波形时： /V W A/WY 输入 1KHz 3KHz 5KHz7 KHz图9基波和各次谐波与参考信号相位差都为兀时的利萨如图 此时，基波和各阶谐波初相位相同。也可以用双踪示波器调节1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波初相位同相。2. 调节 1KHz、3KHz、5KHz、7KHz 正弦波振幅比为 1: 3 : |: |。3. 将1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化。B三角波的合成三角波傅里叶级数表示式：、8h zsintsin3wtsin5tsin7tf (t)=(+兀

10、 2123252721. 将1KHz正弦波从X轴输入，用李萨如图形法调节各阶谐波移相器调节初相位为如下图 形： v w wv同伐相Y辍r入 1 KHz反伐和3KHz5KHz反伐相7 KHz图10相邻谐波相位相差兀2.调节基波和各阶谐波振幅比为:111 1:32 52 723.将基波和各阶谐波输入加法器，输出接示波器，可看到合成的三角波图形。【数据记录及处理】1.方波的傅里叶分解 表一：频谱分解实验数据。谐振频率/KHz1无谐振3无谐振5谐振时电容值C/iC1和C3之间C3和C5之间相对振幅/cm李萨如图与参考正弦波位相差兀N 兀表二：电感损耗电阻实验数据。取样电阻R=Q，信号源内阻测量得r=

11、Q，电感L=0.1H使用频率f /KHz损耗电阻R/ Q1.003.005.00校正后基波和谐波的振幅比；2.傅里叶级数合成合成谐波1KHz1KHz， 3KHz1KHz， 3KHz， 5KHz1KHz， 3KHz， 5KHz， 7KHz合成波形实验结果分析:【注意事项】1. 分解时,观测各谐波相位关系，可用本机提供的1KHz在正弦波做参考；2. 合成方波时，当发现调节5KHz或7KHz正弦波相位无法调节至同相位时，可以改变1KHz或 3KHz正弦波相位,重新调节最终达到各谐波同相位。【思考题】1. 实验中可有意识增加串联电路中的电阻R的值，将Q值减小，观察电路的选频效果，从中 理解Q值的物理意义。2. 良导体的趋肤效应是怎样产生的？如何测量不同频率时，电感的损耗电阻？如何校正傅里 叶分解中各次谐波振幅测量的系统误差？,43. 用傅里叶合成方波过程证明，方波的振幅与它的基波振幅之比为1:一。