椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念: 椭圆的第一定义 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 当动点设为M时，椭圆即为点集 注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形椭圆的第二定义:在平面内，满足到定点的距离与到定直线的距离之比是等于一个常数的动点的轨迹叫做椭圆其中这个定点叫做椭圆的焦点，这条定直线叫做相应于该焦点的准线注：定义中的定点不在定直线上如果将椭圆的中心与坐标原点重合，焦点放在X轴上，准线方程是： 焦点放在Y轴上，准线方程是：【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x轴上椭圆的标准方程: ，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：焦点坐标为（0，c，）(o，-c)【知识点3】椭圆的几何性质:标准方程图形性质范围对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(－a,0)， A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距∣F1F2 |=2c离心率e=∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2规律:(1)椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(3)在椭圆中，离心率(4)椭圆的离心率e越接近１椭圆越扁；e越接近于０，椭圆就接近于圆；椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是＋＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程例：1. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．解：（1）当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为＋＝1.由点(－3,2)在椭圆上知＋＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.四、求椭圆的离心率问题例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解： ∴，∴．例2 已知椭圆的离心率，求的值． 解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得，即．∴满足条件的或．双曲线知识点【知识点1】双曲线的概念: 在平面内到两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 当动点设为M时，椭圆即为点集 注意：若，则动点的轨迹为两条射线；若，则动点的轨迹无图形。
知识点2】双曲线的标准方程焦点在x轴上双曲线的标准方程: ，焦点坐标为（c，0)，（-c，0)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为：焦点坐标为（0，c，）(o，-c)【知识点3】双曲线的几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图 形性 质范 围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)规律:1.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2.区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．(3)在双曲线中，离心率(4)双曲线的离心率e越大,开口越阔.双曲线典型例题一、根据双曲线的定义求其标准方程。
例 已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．∵，∴∴所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．例 是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值．解：在双曲线中，，，故．由是双曲线上一点，得．∴或．又，得．二、根据已知条件，求双曲线的标准方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点，且焦点在坐标轴上．（2），经过点（－5，2），焦点在轴上．（3）与双曲线有相同焦点，且经过点解：（1）设双曲线方程为∵ 、两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线方程为说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在轴上，，∴设所求双曲线方程为：（其中）∵双曲线经过点（－5，2），∴∴或（舍去）∴所求双曲线方程是说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：∵双曲线过点，∴∴或（舍）∴所求双曲线方程为抛物线抛物线xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线{=点M到直线的距离}范围对称性关于轴对称关于轴对称焦点(,0)(,0)(0,)(0,)焦点在对称轴上顶点离心率=1准线方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1） （2）解：（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，①当时，，抛物线开口向右，∴焦点坐标是，准线方程是：．②当时，，抛物线开口向左，∴焦点坐标是，准线方程是：．综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：．二、求直线与抛物线相结合的问题例2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．解法一：设、，则由：可得：．∵直线与抛物线相交，且，则．∵AB中点横坐标为：，解得：或（舍去）．故所求直线方程为：．解法二：设、，则有．两式作差解：，即．，故或（舍去）．则所求直线方程为：．椭圆、双曲线、抛物线基础测试题时间：100分钟 满分：100分 班级 姓名 成绩 一.选择题（下列各题中只有一个正确答案，每小题4分共24分）1. 到两点F1 (0, 3 )、F2 (0, -3 ) 的距离之和等于10的动点M的轨迹方程是 ( )( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 2. 双曲线4x2 - 3y2 = 12的共轭双曲线是 ( )( A ) 4y2 - 3x2 = 12 ( B ) 3x2 - 4y2 = 12 ( C ) 3y2 - 4x2 = 12 ( D ) 4x2 - 3y2 = 123. 顶点在原点、坐标轴为对称轴，经过点P( 1, -2 )的抛物线方程是 ( )( A ) y2 = 4x ( B ) x2 =y ( C ) y2 = 4x, x2 = 4y ( D ) y2 = 4x, x2 =y4. 若椭圆，则9等于 ( )( A ) 两焦点间的距离 ( B ) 一焦点到长轴一端点的距离 ( C ) 两准线间的距离 ( D ) 椭圆上一点到准线的距离5. 当曲线表示焦点在x轴上的双曲线时，则 ( )( A ) k > 0 ( B ) k > 4 ( C ) 0 < k < 4 ( D ) k > 4或k < 06. 双曲线的两条准线把连接两焦点的线段三等分，则双曲线的离心率是 ( ) ( A ) ( B ) 3 ( C ) ( D ) 二.填空题（每空4分，共24分）1. 抛物线x2 = 4y + 8的焦点坐标是 .2. 离心率为的双曲线的渐近线的夹角等于 . 3. 经过两点M(3, 0 )、N( 0, -2 )的椭圆的标准方程是 .4. 若椭圆的一焦点到短轴两端点的连线垂直，则椭圆的离心率是 .5. AB是过椭圆x2 + 2y2 = 4焦点F1的弦，它与另一焦点F2所连成三角形的周长等于 .6. 当抛物线y2 = 4x上一点P到焦点F和点A( 2, 2 )的距离之和最小时，点P的坐标是 三.解答题（5道题，共52分）1、已知双曲线的一渐近线方程是x +y = 0, 且过点M(-6, 4 )，求双曲线的标准方程. (10分)2、求直线y = 2x + 1与抛物线x2 - y = 1相交所得的弦长. (共10分)3、一抛物线以双曲线 的右顶点为顶点，左焦点为焦点，求此抛物线的方程。
10分）4、已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线5x-2y -10 = 0分别经过椭圆的一个焦点和短轴的。