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1、博爱县第一中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知,则的最小值是( )A.3B.4C.D.2若,且,则等于( )A.4B.3C.2D.13已知一组样本数据,.,的方差为10,且.设,则样本数据,.,的方差为( )A.9.5B.10.5C.9.75D.10.254一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行,2小时后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东,在B处观察灯塔,其方向是北偏东,那么B,C两点间的距离是( )A.海里B.海里C.海里D.海里5函数是( )A.最小正周期为的奇函数B.最小
2、正周期为的偶函数C.最小正周期为的非奇非偶函数D.最小正周期为的非奇非偶函数6欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7已知直线,若,则实数( )A.1B.3C.1或3D.08加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有( )种A.90B.125C.180D.243二、多项选择题9已知A,B是直线与函数图象的两个
3、相邻交点,若,则的值可能是( )A.2B.4C.8D.1010在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则以下四个结论正确的有( )A.可能是等边三角形B.可能是直角三角形C.当时，的周长为15D.当时，的面积为11已知，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.三、填空题12在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为，则实数的值为_.13如图为某水晶工艺品的示意图，该工艺品是将一个半径为R的大球放置在底面半径和高均为R的空心圆柱内构成的，大球与圆柱下底面相切.为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干个大小相等的实心小球，且小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工
4、艺品内最多可放入_个小球（取，）.14若圆与圆的公共弦长为,则_.四、解答题15已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求a,b的值;（2）判断的单调性并用定义证明.16在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.（1）求;（2）若,且的面积为,求的值17如图,在四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,M,N分别为BC,PC的中点,.（1）证明:;（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.18已知抛物线的焦点为F，点A，B，P是该抛物线上互不重合的三点，且轴，设点A，B的横坐标分别为，.（1）当时，求（点O为坐标原点）的值；（2）求的最小值.19已知函数是定义域上的奇函数,且.（1）求函数的解析式
5、;（2）若方程在上有两个不同的根,求实数m的取值范围;（3）令,若对,都有,求实数t的取值范围.参考答案1答案：B解析：考察均值不等式,整理得即,又,2答案：D解析：设,得到,则,故选:D.3答案：B解析：设样本数据,.,的平均数为,则,设样本数据,.,的平均数为,因为,所以,所以.4答案：A解析：由题设可得如下示意图,且,即,由图知:,则,又,所以,则海里.故选:A5答案：D解析：.故最小正周期,为非奇非偶函数.6答案：D解析：由题意得，所以复数z在复平内面对应的点位于第四象限，故选D.7答案：A解析：因为,所以,解得:或,当时,两直线平行,满足题意,当时,两直线重合,舍,所以.故选:A.8
6、答案：A解析：根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家，所以不同的安排方法共有种.故选：A.9答案：AD解析：设函数的最小正周期为T,则或者,即或,解得或,10答案：BCD解析：由正弦定理得，对于A，因为，所以不可能是等边三角形，故A错误.对于B，若A是直角，则，所以存在可能是直角三角形，故B正确.对于C，若，则，的周长为15，故C正确.对于D，解得，所以的面积，故D正确.11答案：AC解析：由已知得，两式分别平方相加得，整理得，故A正确，B错误；，
7、故C正确，D错误.故选AC.12答案：-4解析：因为，所以，所以，解得，所以.13答案：15解析：过大球球心与圆柱底面圆心的平面截该工艺品所得的平面图如图1所示，其中G，F分别是大球与实心小球的球心.设实心小球的半径为r，由题意，得，整理得.设该工艺品内最多可放入个小球.因为这些实心小球的球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，如图2，易得，且，得.又，故该工艺品内最多可放入15个小球.14答案：1解析：圆的圆心为,半径.圆的圆心为,半径,两个圆的公共弦的方程为:,解得:.有,又,解得:或(舍去)故答案为:1.15答案：（1）,（2）函数在R上为减函数,证明见解析.解析：（1）因为函数为R上的奇函
8、数,所以,即,又,即,解得,所以,.（2）由（1）可知,函数在R上为减函数,证明如下:任取,且,则,因为,所以,即,所以,即,所以函数在R上为减函数.16答案：（1）;（2）.解析：（1）,.即,则,（2）的面积为,得,即,.17答案：证明见解析;（2）解析：（1）由题意知,易得.又,且,平面PDM,所以平面PDM.因为,所以平面PDM.又平面PDM,所以.（2）由（1）知平面PDM,所以为直线AN与平面PDM所成角的余角.连接AM,因为,所以平面ABCD,所以.因为,所以由余弦定理得,又,所以,所以,连接BN,结合余弦定理得.连接AC,则由余弦定理得,在中,结合余弦定理得,所以.所以在中,.
9、设直线AN与平面PDM所成的角为,则.18答案：（1）（2）9解析：（1）由题可知，又因为，解得，过A作垂直于x轴于E，因为，所以，所以.（2）设，因为轴，所以点P的横坐标为，又点P在抛物线上，所以，得到，根据对称性，不妨设点P在x轴的上方，则，设直线的方程为，点A，B的纵坐标分别为，.由方程组，消x得到，所以，即，又由韦达定理知，所以，因为，所以，又，所以，即，所以，整理得，所以或.若，则直线过P点，不合题意，舍去，所以，所以，又因为恒成立，所以当时，的最小值为9.19答案：（1）（2）（3）解析：（1）,又是奇函数,解得,.经验证,函数满足定义域,成立,所以.（2）方程在上有两个不同的根,即在上有两个不相等的实数根,需满足,解得.（3）有题意知,令,因为函数在上单调递减,在上单调递增,函数的对称轴为,函数在上单调递增.当时,;当时,;即,又对都有恒成立,即,解得,又,t的取值范围是.
