《高考数学浙江理科一轮【第八章】立体几何 8.6》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学浙江理科一轮【第八章】立体几何 8.6（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 精品资料8.6双曲线1 双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a0，c0：(1)当ac时，P点不存在2 双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2
2、a2b2 (ca0，cb0)1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)()2 若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B5 C. D2答案A解析焦点(c,0)到渐近线yx的距离为
3、2a，解得b2a，又a2b2c2，5a2c2，离心率e.3 (2013福建)双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B.C. D.答案C解析双曲线的顶点(2,0)到渐近线yx的距离d.4 (2012天津)已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.答案12解析与双曲线1有共同渐近线的双曲线的方程可设为，即1.由题意知c，则4165，则a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.5 已知双曲线1(a0，b0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q，若直线AP，BQ的斜
4、率分别是k1，k2，且k1k2，则双曲线的离心率是()A. B. C. D.答案C解析如图，设P(x0，y0)，则Q(x0，y0)，A(0，a)，B(0，a)，1，1，k1k2，5a24(c2a2)，e.题型一双曲线的定义及标准方程例1(1)已知双曲线1 (a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_(3)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_思维启迪设双曲线方程为1，求双曲线方程，即求a、b，为此需
5、要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c；根据双曲线的定义求轨迹方程(注意条件)答案(1)1(2)1(3)x21(x1)解析(1)椭圆1的焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，离心率为e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点，因此a2b27.又双曲线的离心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.(2)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.(3)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|
6、MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)思维升华求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的
7、值即可利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支(1)(2012湖南)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案(1)A(2)A解析(1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解1的焦距为10，c5.又双曲线渐近线方程为yx，且P(2,1)在渐近线上，1，即a2b.由解得a2，b，则C的方程为1，故应选A.(2)由题意知
8、椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线C2的标准方程为1.题型二双曲线的几何性质例2(1)(2013浙江)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是 ()A. B. C. D.(2)若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，)C，) D，)思维启迪(1)求圆锥曲线的离心率e，可以求出a，c的关系式，进而求出e
9、.(2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的x，y的取值范围答案(1)D(2)B解析(1)|F1F2|2.设双曲线的方程为1.|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a，|AF2|2a，|AF1|2a.在RtF1AF2中，F1AF290，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.故选D.(2)由条件知a21224，a23，双曲线方程为y21，设P点坐标为(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，y21，x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(P为右支上任意一点)，32.故选B.思维升华在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的
10、直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多由于e是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形求e，并且需注意e1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题(1)(2013课标全国)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx(2)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案(1)C(2)C解析(1)由e知，a2k，ck(kR)，由b2c2a2k2知bk.所以.即渐近线方程为yx.故
11、选C.(2)如图，2，A为线段BF的中点，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2.题型三双曲线的综合应用例3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围思维启迪(1)利用待定参数法求C的方程；(2)联立直线l和双曲线C的方程，利用判别式和根与系数的关系求k的范围；(3)求出P点坐标，代入l0，得到m关于k的关系式，求出m的取值范围解(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得：a，c
12、2，再由a2b2c2，得b21，双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将ykx代入y21，得，(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.当k1时，l与双曲线左支有两个交点(3)由(2)得：xAxB，yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2.AB的中点P的坐标为(，)设直线l0的方程为：yxm，将P点坐标代入直线l0的方程，得m.k1，213k20.m2.m的取值范围为(，2)思维升华研究直线和双曲线的位置关系，可将直线方程代入双曲线方程，若得到关于x或y的一元二次方程，可利用判别式和根与系数的关系解决(1)设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是_
