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1、学而思高中完整讲义：直线.板块五.直线中的对称问题.学生版1椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程：，焦点是，且，焦点是，且3椭圆的几何性质（用标准方程研究）：范围：，；对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋
2、近于，椭圆越趋近于圆4直线：与圆锥曲线：的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线：，由消去（或消去）得：若，相交；相离；相切若，得到一个一次方程：为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；为抛物线，则与抛物线的对称轴平行因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，
3、求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为两根差公式：如果满足一元二次方程：，则（）6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题典例分析【例1】 已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（ ） A BC D【例2】 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于，两点，且，则
4、称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）A直线上的所有点都是“点”B直线上仅有有限个点是“点”C直线上的所有点都不是“点”D直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”【例3】 如图抛物线：和圆：，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为 （ ）A B C D【例4】 斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，若弦长，则 _【例5】 抛物线与直线有两个不同的交点，则实数的范围是_【例6】 若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则_【例7】 已知抛物线的一条弦，所在的直线与轴交于点，则 【例8】 过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有_条【例9】 对于抛物线：，我们称满足的点在
5、抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线的位置关系是_【例10】 设抛物线的准线与轴交于点，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是_【例11】 若曲线与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 【例12】 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为，则_【例13】 已知抛物线（为常数，）上不同两点、的横坐标恰好是关于的方程（为常数）的两个根，则直线的方程为_【例14】 抛物线截直线所得弦长的中点坐标为_，弦长为_【例15】 已知抛物线，过定点作一弦，则_【例16】 已知抛物线过点，求抛物线的焦点坐标与准线方程；直线：与抛物线交于两点，求线段的中点坐标及的
6、值【例17】 设抛物线被直线截得的弦长为，求值以中的弦为底边，以轴上的点为顶点作三角形，当三角形的面积为时，求点坐标【例18】 已知点到定点（）与它到定直线的距离相等，求动点的轨迹方程；设过点的直线与的轨迹交于、两点，设，当直线与的斜率都存在时，求证直线、的斜率之和为【例19】 在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于两点若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值【例20】 过抛物线的对称轴上的定点作直线与抛物线相交于、两点，若点为定直线：上的任意一点，试证明：三条直线、的斜率成等差数列【例21】 已知抛物线过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同的两点、若，求的取值范围【例22
7、】 已知曲线为顶点在原点，以轴为对称轴，开口向右的抛物线，又点到抛物线的准线的距离为，求抛物线的方程；证明：过点的任意一条直线与抛物线恒有公共点；若中的直线分别与抛物线交于上下两点，又点，的纵坐标依次成公差不为的等差数列，试分析与的大小关系【例23】 已知抛物线和圆，过点作直线交抛物线于、，交圆于（自下而上依次为），且，求实数的取值范围【例24】 已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差是1求曲线的方程；是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由【例25】 已知，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足，当点
8、在轴上移动时，求点的轨迹；过点作直线与轨迹交于、两点，若在轴上存在一点，使得是等边三角形，求的值【例26】 已知分别是椭圆的左、右焦点，曲线是以坐标原点为顶点，以为焦点的抛物线，自点引直线交曲线于、两个不同的交点，点关于轴的对称点记为设求曲线的方程；证明：；若，求的取值范围【例27】 已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点证明：直线的斜率互为相反数；求面积的最小值；当点的坐标为，且根据推测并回答下列问题（不必说明理由）：直线的斜率是否互为相反数？面积的最小值是多少？【例28】 过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于、两点，自、向直线作垂线，垂足分别为、当时，求证：；记、的面
9、积分别为、，是否存在，使得对任意的，都有成立若存在，求出的值；若不存在，说明理由【例29】 已知曲线是到点和到直线距离相等的点的轨迹是过点的直线，是上（不在上）的动点；、在上，轴（如图）求曲线的方程；求出直线的方程，使得为常数【例30】 已知抛物线：，点在轴的正半轴上，过的直线与相交、两点，为坐标原点若，的斜率为1，求以为直径的圆的方程；若存在直线使得，成等比数列，求实数的取值范围【例31】 已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于、两点，点关于轴的对称点为证明：点在直线上；设，求的内切圆的方程 【例32】 已知抛物线及定点，是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为求证：当点在抛物线上变动时（只要存在且与是不同两点），直线恒过一定点，并求出定点的坐标【例33】 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点如果直线过抛物线的焦点，求的值；如果证明直线必过一定点，并求出该定点【例34】 在平面直角坐标系中，设点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点， ，求动点的轨迹的方程；记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、的中点分别为，求证：直线必过定点【例35】 已知：为坐标原点，点、满足，当变化时，求点的轨迹方程；若是轨迹上不同与的另一点，且存在非零实数，使得，求证：
