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1、高三数学导数与积分经典例题以及答案.教学内容：导数与积分.重点、难点：1 .导数公式：f (x) =0f (x) = n xnf (x) = cosxf (x) = -sin xf (x) = ax In a,1f (x) =loga e xy=f(x)=cy=f(x)=xny=f(x)=sinxy=f(x)=cosxy=f(x)=axy=f(x)=logax2 .运算公式f(x)-g(x)1-f(x)-g(x)f(x)g(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)f(x).f(x)g(x)-f(x)g(x)F:27g(x)g(x)3 .切线，过P(x0,y0)为切点的y=f(x)的切线，yy0=
2、f(x0)(xx0)4 .单调区间不等式f(x)0,解为y=f(x)的增区间，f(x)0解为y=f(x)的减区间。5 .极值(1) xW(a,x0)时，f(x)A0,xW(x0,b)时，f(x)0f仪0)为y=f(x)极大值学习参考(2) x(a(a,Xo)时f(x)0时，y=lnx,y=一；x，.一.11当x0x(a,b)F(x)任取xw(a,b)F(x)F(a)f(x)-g(x)f(a)-g(a)即f(x)+g(a)g(x)+f(a)故选C例4f(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数、偶函数。x0,g(3)=0,则不等式f(x),g(x)0的解为。解：令F(x)=f(x)g(x)F(x)
3、=f(x)g(x)+f(x)g(x)x(-二,0)F(x)0x(0,二)F(x)f(x)奇，g(x)偶=F(x)奇函数g(3)=0F(-3)=0F(x)0解为(-,-3)=(0,3)ax例5已知函数f(x)=-2在x=1处取得极值2。xb(1)求f(x)的解析式；(2) m满足什么条件时区间(m,2m+1)为函数增区间；(3)若P (xo, y)为y = f(x)图象上任一点l与y = f (x)切于点P求l的倾斜角的正切值的取值范围解：f(x) =,2a(x b) -ax(2x)22(x b)7(1) =2f (x) =0a =4b = 1f(x)4xx2 1 f (x)=4(1 x2)(x
4、2 1)2=0= x = 1列表(口,。J ( 1, 1) T (1, + 8)jm -12m 1 M1 = -1 ； m E 02m 1 mf (x)=24(1 -x2)(x21)22-(x2 1) 2 = 4 2(x21)2(x2 1)21x2 1-1令=t(0,1x212121f(x)=42t2-t=42(t-)2-48.1.f(x)-2,4.131.2例6f(x)=-x3+(b_1)x2+cx32(1) f(x)在x=1,x=3处取得极值，求b,c;f(x)在(-,x1),(x2,*),(x1,x2)，且x2x1A1,求证:2b2(b2c)21(3)在(2)的条件下，11b2(b+2c
5、)2(3) x(b1)xc=(x-x1)(x-x2)2.2tbtcx1=t(b-1)tct一x1=(t-x1)(t-x2)(t-x1)=(t-x1)(t1-x?)*x2-x11x2x1+1At+12，*式A0t+bt+cx1曲线C2在点Q(X2,-x2+a)的切线方程是/2y-(-X2a)2X2(x-X2)即y=-2x2x+x2+a如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程Xi+1=X2_X12=X2+a消去x2得方程2x12+2x1+1+a=01 1若判别式=44父2(1+a)=0,即2=时解得X1,此时点P与Q重合2 21即当a=-时，C1和C2有且仅有一条公切线1由得公切线方程为
6、y=x-14,一，1，一一-八(2)由(1)可知，当a时C1和C2有两条公切线2设一条公切线上切点为P(x1,y1),Q(X2,X2),其中P在C1上,Q在C2上,则有X1X2-1y1y=x；2x1(-xfa)=x122x1-(x11)2a=-1a一，11.a线段PQ的中点为(1,_a)221 -1a同理，另一条公切线段PQ的中点也是(1，_a)2 2所以公切线段PQ和PQ互相平分例8已知抛物线y=ax2+bx+c过点(1,1),且在点(2,1)处与直线y=x3相切，求a,b,c的值。解析：1.-y=f(x)=ax2+bx+cy=f(x)=2axb抛物线在点(2-1)处与直线y=x-3相切.f
7、(2)=-1,且f(2)=1口.4a+2b+c=1即J4a+b=1(2)又抛物线过点(1,1)，a+b+c=1(3)将(1)(2)(3)联立解得a=3,b=11,c=9例9设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值为0,试确定函数的解析式。解析：y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P.点P的坐标为(Qd)曲线在P点处的切线方程为y=12x-4,故P点坐标适合此方程，将P(0,d)代入后得d-4又切线的斜率为k=12而y=3ax22bxc,y|x=0=c.c=12又函数在x=2处取得极值0.y=0且
8、f(2)=0.12a+4b+12=0(1)、8a十4b+20=0(2)由(1)(2)解得a=2,b=-9y-2x3-9x212x-4，八1例10已知曲线y =。x(1)求曲线在点P (1, 1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q (1, 0)的切线方程；1(3)求满足斜率为 的曲线的切线方程。3，、,1解析：(1) y =-,又P(1, 1)是曲线上的点xP为切点，所求切线的斜率为k = f (1) = -1，曲线在P点处的切线方程为 y1=(x1),即y = x+21(2)显然Q (1, 0)不在曲线y=上x则可设过该点的切线的切点为一 1、A(a-),则a 1该切线余率为k1 = f (a)
9、 = -2a则切线方程为11 ,、y(x-a) (*) aa将 Q (1, 0)代入方程(*)、修1，、-(1 - a)得a =。故所求切线方程为2一，一一 1(3)设切点坐标为 A(a,1) a，,1则切线的斜率为k2二-一解得a=.3A( 3,或 A ( - 3,),代入点斜式方程得- V3)或.31一yW-3(x3)即切线方程为x+3y2J3=0或x+3y+2J3=03例11已知a0,函数f(x)=xa,x=。，)，设x10,记曲线y=f(x)在点M(x1，f(x1)处的切线为M(1)求l的方程；(2)设l与x轴交点为(X2，0),证明：111X2之a3；若X1a3,则a3X2刈。2解析：(1)求f(x)的导数：(
