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1、沪教版高中数学教案【篇一：高二数学： 7.2等差数列前 n项和教案 1沪教版】等差数列的前 n项和（一）教学目标（一）教学知识点等差数列前 n项和公式： sn= n(a1?an)n(n?1) ?na1?d. 22 （二）能力训练要求1.掌握等差数列前 n项和公式及其获取思路 .2.会用等差数列的前 n项和公式解决一些简单的与前 n项和有关的问题. （三）德育渗透目标1.提高学生的推理能力 . 2.增强学生的应用意识. 教学重点等差数列前 n项和公式的推导、理解及应用 . 教学难点灵活应用等差数列前 n项公式解决一些简单的有关问题. 教学方法启发引导法结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中
2、发现新知识，从而理解并掌握 . 教具准备投影片一张：记作 例:如图（课本），一个堆放铅笔的 v 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 v 形架上共放着多少支铅笔?教学过程 .复习回顾师经过前面的学习，我们知道，在等差数列中： （1）an an1=d （n 1）， d为常数 . （2）若 a，a，b为等差数列，则a=a?b . 2 （3）若 m+n=p+q,则am+an=ap+aq. （其中 m,n,p,q 均为正整数）.讲授新课师随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题 . （打出投影片）这是一堆放铅笔的 v 形架，这形同前面所接触过
3、的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数 .那么，这个 v 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？ 首先，我们来看这样一个问题： 1+2+3+ +100= ？对于这个问题，著名数学家高斯 10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？ 高斯的算法是：首项与末项的和： 1+100=101 ，第 2项与倒数第 2项的和： 2+99=101 ， 第 3项与倒数第 3项的和：3+98=101 ， 100 =5050. 2这个问题，它也类似
4、于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列 1，2，3， ，n, 的前 100项的和 .在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数 n 来表示，且任意的第 k项与倒数第 k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前 n项的和 .如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解 . 设等差数列 an 的前 n项和为sn ，即 sn=a1+a2+ +an, 把项的次序反过来， sn 又可写成 sn=an+an 1+ +a1 +?2sn=（a1+an ）+（a2+an 1）+ + （an+a1 ）又 a2+an 1=a3+an 2=a4+an 3= =an+a1
5、, 2sn=n （a1+an ）,即： sn=n(a1?an) 2若根据等差数列 an 的通项公式， sn 可写为： sn=a1+ （a1+d ）+ + a1+（n1）d ,把项的次序反过来， sn 又可写为：sn=an+ （and）+ + an（ n1）d ,把、两边分别相加，得 2sn=由此可得等差数列 an 的前 n项和的公式 sn=n （a1+an ）,即： sn= n(a1?an). 2 n(a1?an). 2 也就是说，等差数列的前 n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.100(1?100)=5050. 2 n(a1?an)n?a1?a1?(n?1)d?n(n?1)又 an=a1
6、+ （n1）d,sn=?na1?d 222n(a1?an)n(n?1) sn= 或 sn=na1+d 22用这个公式来计算 1+2+3+ +100= ？我们有 s100=有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？（打出投影片） 师分析题意可知，这个 v 形架上共放着 120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为 an ，其中a1=1,a120=120,n=120.生解：设自上而下各层的铅笔成等差数列 an ，其中 n=120,a1=1,a120=120.则： s120= 120(1?120)=72602答案：这个 v 形架上共放着 7260 支铅笔 .
7、下面我们再来看一例题：等差数列 10,6,2,2， 前多少项的和是 54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解 .解：设题中的等差数列为 an，前 n项为的 sn ，由题意可知：a1= 10,d= （ 6） （ 10）=4，sn=54由等差数列前 n项求和公式可得： 10n+n(n?1)解之得： n1=9,n2= 3（舍去）答案：等差数列 10,6,2,2, 前 9项的和是 54. .课堂练习生练习课本1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 an 的 sn; （1）a1=5,an=95,n=10; 解：由 sn=n(a1?an)10?(5?95
8、) ,得 sn=500.22（2）a1=100,d= 2,n=50;n(n?1) d, 2 50?(50?1)2解：由 sn=na1+（3）a1=14.5,d=0.7,an=32 n(n?1)26(26?1)评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所给条件灵活选用而求解 .2.（1）求正数数列中前 n 个数的和 .解：由题意可知正整数列为： 1，2，3， ，n, , sn= n(n?1)2（2）求正整数列中前 n 个偶数的和 . 解：由题意可知正整数数列为： 1，2，3， ，n, ,其中偶数可组成一新数列为： 2，4，6， 2n, ，设正整数列中前 n 个偶数的和为sn ，则s
9、n=评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解 . 3.等差数列 5，4，3，2， 前多少项的和是 30？ 解：由题意可知， a1=5,d=4 5=1. 由 sn=na1+n(2?2n)=n （n+1 ）. 2 n(n?1)n(n?1) 评述：利用方程思想，解决一些简单的相关问题 .课时小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前 n项和公式 :sn= n(a1?an)n(n?1) =na1+d 及其获22取思路 .课后作业（一）课本（二） 1.预习内容：课本2.预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题 ? 板书设计【篇二：沪科版高中数学等差数列等比数列教案】7.2（3）等差数列的前 n
10、项和一、教学内容分析本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识 “倒序相加 ”数学方法 .二、教学目标设计 1掌握等差数列前 n 项和公式推导思路和方法2会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的问题 三、教学重点及难点等差数列 n 项和公式的理解、推导及简单应用灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的问题四、教学用具准备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1观察 高斯是伟大的数学家、天文学家 .高斯十岁时 ,有一次老师出了一道题目,老
11、师说: “现在给大家出道题目 :1+2+?+100=?”过了两分钟 ,正当大家在： 1+2=3 ；3+3=6 ；4+6=10;? 算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+?教师问： “你是如何算出答案的？2思考这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发（ 2）该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法 .这就是 “倒序相加 ”3讨论如图，一个堆放铅笔的 v 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 v 形架上共放着多少支铅笔 ?这是一堆放铅笔的 v 形架，这形同前
12、面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个 v 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数列求和问题？这个问题，类似于刚才我们所遇到的小故事中的问题，它可以看成是求等差数列 1，2，3， ，n, 的前 120项的和 .在上面的求解中，我们设想：如果还有一堆同样放置的铅笔的 v 形架 .我们将它倒置拼在一旁 ,那么这时每层铅笔的个数相同 .可以发现所求的和可用首项、末项及项数 n 来表示，且任意的第 k项与倒数第 k项的和都等于首
13、项与末项的和，这就启发我们如何去研究一般地等差数列的前 n项的和公式 .如果我们可归纳出这一个公式，那么上述问题便可迎刃而解 .二、学习新课1公式推导等差数列的前 n项和公式 1:sn?推导过程： n(a1?an). 2 证明： sn?a1?a2?a3?an?1?an sn?an?an?1?an?2?a2?a1 +： 2sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)?(an?an).a1?an?a2?an?1?a3?an?2?.2sn?n(a1?an). 由此得： sn?n(a1?an). 22等差数列的前 n项和公式 2：sn?na1?n(n?1)d. 2 用上述公式要求 sn
14、 必须具备三个条件： n,a1,an. 把 an?a1?(n?1)d入公式 1 即得： sn?na1?n(n?1)d. 2此公式要求 sn 必须已知三个条件： n,a1,d （有时比较有用） 总之：两个公式都表明要求 sn, 必须已知 n,a1,d,an 公式 2 又可化成式子： sn?2例题分析 d2dn?(a1?)n. 当 d022 例 1 一个堆放铅笔的 v 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 v 形架上共放着多少支铅笔？ 解：由题意可知，这个 v 形架上共放着 120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为?an? ，其中 a1?1,a120?120 ，根据等差数列前 n项和的公式，得 s120?120?(1?120)?7260. 2答： v 形架上共放着 72603 问题拓展例 2 等差数列 -10，-6，-2，2， 前多少项的和是 54？解：设题中的等差数列为?an? ，前 n项的和为sn, 则a1?10,d?(?6)?(?10)?4,sn?54.由公式可得 ?10n?n(n?1)?4?54. 2解得 n1?9,n2?3 （舍） .故等差数列 -10，-6，-2，2 前 9项的和是 54.三、巩固练习?1 求集合 m?m|m?7n,n?n* 且 m?100 1002?14. 77
