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1、. .一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在根本不等式一节课中已经隐含了函数的图象、性质与重要的应用，是高考要求围的一个重要的根底知识那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或根底比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习ab0的图象、性质与应用21 定理：函数ab0表示的图象是以y=ax和x=0y轴的直线为渐近线的双曲线首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax的值与的值比较，当很大很大的时候，的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax的值；当的值很小很小，几乎为0的时候，ax的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是的值从而，函数ab0表示的图象是以y=ax和x=0y轴的直线为渐近
2、线的曲线另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论OxyAA1例1图例1假设函数是双曲线，半轴a，虚半轴b，半焦距c，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=x就是实轴了，得出顶点为A，3，A1-，-3； a=, 由渐近线与实轴的夹角是30，那么有=tan30, 得b=2 , c=4, F1(2,)F2(-2,-)为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点Px,满足即可；所
3、以，函数表示的曲线是双曲线在许多地方，教师把这个曲线形状形象概括为双钩曲线，其实很不准确的22五种表现形式表现 1：函数a0,b0的双曲线大概图象如下：OxyAA1y=ax表现1图渐近线含双曲线局部的夹角是锐角，在和上函数分别是单调递增的，在和上函数分别是单调递减的；在x=处有极大值，在x=处有极小值；值域是表现 2：函数a0,b0,b0，所以，函数在和上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R表现 4：函数a0的双曲线图象如右：OxyAA1y=ax表现4图此时，渐近线含双曲线局部的夹角是钝角，y0 , xy=1 ,求的最小值及此时x、y的值解：xy0 ，x-y0, 又 xy=1，=
4、；解混合式得：所以当： 时候，取得最小值为例3求y= (x0)解：令x+2=t 那么 x=t-2 代入得 由 x0得t2,而在上是减函数的，所以y-5,值域为例111假设a0，求的单调区间2假设当时，恒有0，数a的取值围解：=当0时，的单调递增区间为，单调递减区间为 2i当时，显然0成立，此时，ii当时，由0，可得，令 那么0，在要求区间是单调递增，可知0，在要求区间是单调递减，可知此时的围是1，3综合i、ii得：的围是1，3从上面几个例子可以看出，形如 或m0,a0函数值域不但可以用二次方程的判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的围时候
5、，更要利用这个函数的单调性来解决了重点推广：到此我们来看看函数 adbc，a0终究是什么样的图象与性质呢.xyO它可以通过变形化为，继续化为，因此，函数adbc，a0的图象是可以从的图象通过平移而来的，从而adbc，a0的图象也是等轴双曲线，渐近线是，的两条直线，在和两个区间上都具有一样的单调性，0时都是单调递减，0,b0要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的根本函数，要熟练理解和应用，例4正项数列满足a1=a (0a1)且an+1,求证 分析：此题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理；in=1时 a1=a，符合求证结论ii设n=k时 结论成立 那么n=k+1时候， ak+1,而，因此，考虑函数f(x)=1- 在区间和区间都是递增函数，0，1，所以f(x)=在0，1也是递增函数，从而，ak+1，所以 n=k+1时,不等式也成立综上所述，对任意n是正的自然数都成立这样，adbc，a0的图象也是等轴双曲线，渐近线是，的两条直线，在和两个区间上都具有一样的单调性的应用要得到稳固，它是函数ab0的图象、性质的知识系统的重要组成局部优选
