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1、第七章参数估计3子 u2 u2= D(X)= 10420,可得0的矩注意：这是第一稿(存在一些错误)1、解由斗=E(X) = fxf(x,8)d =? , v10u人 _人人22估计量为 0 =2又，这时 E(e)=2E(X) =8 , D(e)= D(2X)=4 =20n 5n3、解 由 Hi=E(X)=28(1-6)+2(1-6)2=2(1-。)，得 0 的矩估计量为:eX=i_226建立关丁 e 的似然函数：L(e) = (e 2)3(2e (1 e)2(1 _e)2 =套 8(1 - )4令婿)=旦咛*上业= _亡=0，得到9的极大似然估计值：0=14、解：矩估计：料=0旧+1占+2
2、(1B九)=2浏一九，2 .2.2.2=2-2， 2 ，-1 f).牌.|：2件顼-,A =1,2-2又-？=1,故-2-2- 一 -2-3|(2 -2仪一)低+(2十一 1 ) 7?十(2任十，？)(1 一仪一，？)=4?=二解得4为所求矩估计。f共8.极大似然估计：1(6,人)= PXi =Xq =X = 0,X? = X& = 乂8=2,乂3 = 乂7=1=时3兀2(1_时_&)l ,* )=ln L ,* )=3ln u 2ln， 3ln 1、-，31 - ：i - 31 一=0,_? 3-=,解得8即为所求。=0.、？ k = .-45、解 由E(X) = p2+3p(1-p)+3(
3、1-p)2 = p2 3p + 3，所以得到p的矩估计量为A _ 3 一 9 一4(3 一 X) 一、4X -3P _2-2律古 pP(1 - P)non n2-n Mixii n1 3p(1-p) m 2 n3娃里大了 廿Y似恐闺攻.L(p)=() ( p ) () (1 - p )2 2令 年堕=o，求得到9的极大似然估计值：p =巾驾项6、解：(1) EX = j x(0 +1 )x%x = 1 , 02? 1 一 o 2X -1由=X得彳= 41为6的矩估计量。? 21 - XL()=Hf(xQ )=面妲 oE i旦I 71, = In L 71, =In x,0 ： x 1,0,其他
4、。9=0得n In xii A-10, 其他。所以6的极大似然估计为 - 一-1。 In xi丑nL(e,九)= f (x ,e )=iKnz(Inxi 2i 1-EX = ( xf (x,e )dx = e2，令e = X得帝=2In X为e的矩估计量。Xin2、ln xi2 71n、lnxi令n nN22u2=0 得&=-n n i j(ln Xi )为0的极大似然估计。一 一n 一一 n .l L *.)=ln L J,， = -ln 2门- In EX = f xc dx 2? _ c X令甜 =X得# = 为6的矩估计量。L ：f x = 2心OX：2,0,其他。0 ： x 2,其他
5、。nnln - m ln 2-1 疽 ln xl u =lnL -乃 n . _ 、nn.令一=nln2+ lnx=0得，备=n为8的极大似然估计。：11-nln 2 L ln xi一(4)EX= .-xf x,*1。人 100 9令 =X得出=2X -100为e的矩估计量。2nL . f为尸=i =11n100-u因0 8 0得 n idn i:X&=d 为e的矩估计量。n7凶 j _ ?7e-二：X ：:二，其他。0,lnln2 nln 8 - X ,-二：X ：二,-i 0,其他。nZ I Xi n i-为e的极大似然估计。7、解(1)记 p = PX| 4，由题意有 p = PX 4
6、= PX 4 PX4根据极大似然估计的不变性可得概率 p = P X| ()-0.5 = 0.4484-24s2 /2566(2)由题意得:A 41-0.05 =1X A =PX 壬 A=、().24s2/25),丁是经查表可求得A的极大似然估计为A = 12.05888、(1) H = X , E (Xi ElkZ (Xi + -Xi-i注k= 1则 2(n-1)即为所求。n=k Ei d1 n21 n= 、E XL = 、 EX_2EXj . J2 =c-2 n i mn i -in(Xf-Xi )=kL (EXi：-2EXi 书 EXi+EXi2)=2(n-1)g2i :9、解 由题意得
7、 E(f) = E( Xi -H Xi)=8P7P = P及 E( %) = E(-v Xi4 j1 15X)=2aa - 7 i与所以吕和匕都是卜的无偏估计量A815乂： D(1) =D( XjXi) =8。2 -7二2 =c 215A 1 81 158272以及 D(2)=D(宇 Xi Xi)=c- 一&二-14有DgEDg),说明七更有效。10、依题，Xi, Yj与乙相互独立，ET =aES2+bES2+cE膏=(a + b + c尸2故T是b2的无偏估计的充要条件为a+b+c=12入，八、2 n -1 |S记n个样本的方差为S2,则 f 2。422(n-1 )，D(S 24- 2492
8、故 D Si =2。，D(S2 )=。，D(S32)=-。43故 DT =a2DS2 b2DS； c2DS；=2 b2 c2要使T为取有效估计，只须使 a + + 一在a+b+c = 1的条件下取最小值即可。23.222 b cL=a2 - a b c-1令23.:ca b c = 1.L=2a 舄=0,ca:L,=b ，=0,由.:b.:L2c -=0, 31a = 6,1得b=1即为所求。3，1 c=.211、解 由题意可以求出：E(X2)=x2f (x;8)dx = 2Xi2建立建立关丁 6的似然函数：L() =口枷(乏-) , 丁是有: 0Xi2 nn Xi2In L(u) = . L
9、lne 2口)= . |n(Xi) _nln、-2-令也？、于十 g =0,得到e的极大似然估计值:A Xi22nnA Xi2X22r乂： E(B)=E( )=E(-1)=0,无偏的2n22， 0 _ x ： l .12、f(x,a)= 0,、0, 其他。EX =匚戏(x，8 Rx = W故计=3-为8的矩估计量，且为无偏估计。- -322n 一n -L - - f Xi，)-盘 jXi 0*：口， i 40, 其他。显然L(8 )关于8单调递减。故0取最小值时L(8 )最大。又B不小于max(X，X，故& =X()=maxXi,，-J为8的极大似然估计。2n又 fXn x,U - J”.0,
10、x2n_1, 0xXi ),若使其似然函数最大,丁是可以求出的极大似然估计值：B=max(Xi，X2，Xn),2一 2由 Ti = (Xi +X2)，可计算 E(Ti)=E(Xi) + E(X2)=。33设 Z =max(X，X2),那么PZ t =P(max(Xi,X2)t) = P(Xi t,X2 t) = P(Xi t)P(X2 t),当 t0 时，PZ t =P(max(X1,X2) t) = 0 ,t36u丁是 EZ = 0 (1-Fz(t)dt = 0 (1-P(Z E)dt = 0(1-亍)dt=3=3从而：E(T2) =E(7 max(Xi, X2) =7 E(max(Xi,
11、X2) - 66因此T1和T2都是6的无偏估计量。_24_4 1.24.2乂 D(T)= D(XX2) = D(X)Dg) =_ u21DM）=D!?-nnD（箱非X；）-（EX（1）=孑L1D（鸟）=D（X 1 ）=D（X ）= AD （鸟），故鬼比鸟更有效。 n_- . 4*；D ?1:M 1 = 1 - 1； n ； =一u23 99 1513574949 3 . 21 . 2D(T2) = D(max(X1,X2)D(max(X1, X2)= =一63636 19636由丁 D(T1) =上e2 aD(t2) =e2，所以t2比更有效。 13536n14、 L (卜)=口 f 仔，P )=e i 1l(
