排列组合常见类型与解法

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1、排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与 元素的顺序有关。复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基 本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。一. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元 素（位置）优先安排的方法。例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方 法。解法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置

2、上，有A：种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A5种站法，故站法共有：A： - A； =480 （种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A|种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A4种，故站法共有：A； - A4 = 480 （种）二. 相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一 个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？解：把3个女生视为一个元素，与5个

3、男生进行排列，共有A6种，然后女生内部再 6进行排列，有A；种，所以排法共有：A? - A； = 4320 （种）。三. 相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已 排好的元素位置之间和两端的空中。例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A4种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、4丙插入，有A3种，所以排法共有：A4 A3 = 1440 （种）四. 定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行 全排列有A：种，m（m 0，即a, b异号。b（1）若c=

4、0, a, b各有3种取法，排除2个重复（3x- 3y = 0 , 2x-2y = 0 , X- y = 0 ），故有：3X3 2 = 7 （条）。（2）若c。0 , a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意 两条直线均不相同，故这样的直线有：3X3X4 = 36 （条）。从而符合要求的直线共有：7 + 36=43 （条）八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。例8.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案 共有多少种？解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1, 1, 2）, （2, 1, 1）, （1, 2,1），共有：4* I1 = 6 （种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有A 3种方A 232法。由分步计数原理得不同的分派方案共有： 2 11 A3 = 36 （种）。因此共有36 A 232种方案。九. 隔板模型法常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例9.有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的 分配方案？解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：C5 = 126 （种）